Integral iterativa

Es fundamental para el concepto de integrales iteradas que esto sea diferente, en principio, de la integral múltiple

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

En general, aunque estas dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que, bajo condiciones específicas, son equivalentes.

Para la integral iterada

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

la integral

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

se calcula primero y, a continuación, el resultado se utiliza para calcular la integral con respecto a “'y”'.

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

En este ejemplo se omiten las constantes de integración. Tras la primera integración con respecto a x, riguramente tendríamos que introducir una función «constante» de y. Es decir, si deriváramos esta función con respecto a x, cualquier término que contuviera solo y desaparecería, dejando el integrando original. De forma similar, para la segunda integral, introduciríamos una función «constante» de «x», ya que hemos integrado con respecto a «y». De este modo, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.

El orden en que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, especialmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados distintos suelen corresponder a funciones complicadas como la que sigue.

Definamos la secuencia ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$ tal que ${\displaystyle a_{n}\to 1}$. Sea ${\displaystyle g_{n}}$ una secuencia de funciones continuas que no se anulan en el intervalo ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$ y son cero en el resto, de tal manera que ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ para todo ${\displaystyle n}$. Defina

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

En la suma anterior, en cada punto concreto ${\displaystyle (x,y)}$, hay como máximo un término distinto de cero. Para esta función se da que^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

1. ↑ Rudin, W., Real and complex analysis, 1970