Interpolación racional

Una Función racional ${\displaystyle r}$, de grado ${\displaystyle N}$, es un cociente de polinomios cuyos grados suman ${\displaystyle N}$.^[1][2]

${\displaystyle r(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {p_{0}+p_{1}(x-x_{0})+\cdots +p_{n}(x-x_{0})^{n}}{q_{0}+q_{1}(x-x_{0})+\cdots +q_{n}(x-x_{0})^{n}}}}$

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}$ son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto ${\displaystyle x_{0}}$, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que ${\displaystyle f(x)}$ y ${\displaystyle r(x)}$ coincidan en el conjunto ${\displaystyle {x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}}$. Para que ${\displaystyle r(x)}$ exista en ${\displaystyle x_{0}}$, debe ser ${\displaystyle q_{0}\neq 0}$ y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ${\displaystyle q_{0}=1}$. Por otra parte, al sustituir ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle x_{0}}$, se obtiene ${\displaystyle p_{0}=f(x_{0})}$. Así pues, el punto ${\displaystyle x_{0}}$ ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en ${\displaystyle r(x)}$, cada uno de los puntos ${\displaystyle {x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}}$ y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de ${\displaystyle f(x)}$ en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{i}-x_{0})^{k}-\sum _{j=1}^{m}f(x_{i})q_{j}(x_{i}-x_{0})^{j}=f(x_{i})-f(x_{0}),i=1,2,\cdots x_{N}}$