Vicini nació el 7 de abril de 1924 en Génova, Italia, durante unas vacaciones de su familia, en dicho país. Sus padres fueron el empresario ítalo-dominicano Felipe Augusto Vicini Perdomo (medio hermano del presidente Juan Bautista Vicini Burgos) y la heredera dominicana Amelia María Cabral Bermúdez (hija de José María Cabral y Báez y hermana de José María Cabral Bermúdez). Sus hermanos fueron: Laura Amelia (1925–2006), quien se casó con Amadeo Barletta Ricart, el hijo de Amadeo Barletta Barletta ; José María (1926–2007), quien se casó con María Elena Pérez Branger; y Felipe de Jesús Vicini Cabral (1936–1997). Era primo hermano de Donald Reid Cabral, presidente de facto de la República Dominicana, primo hermano de José María Cabral, director de cine y primo segundo de Peggy Cabral, vicealcaldesa de Santo Domingo.
Se casó con Alma Stella Altagracia Lluberes Henríquez (1936–1992), hija de Mario Rafael Lluberes Abréu y Josefa Stella Henríquez Vásquez (nieta del intelectual Federico Henríquez y Carvajal y del diplomático Francisco Leonte Vásquez Lajara; este último era hermano del presidente Horacio Vásquez Lajara ) Tuvieron 3 hijos: Felipe Augusto Antonio (n. 1960), Amelia Stella María (n. 1974) y Juan Bautista Vicini Lluberes (n. 1975).
En 1936 su padre murió y Vicini pasó a ser presidente del Grupo Vicini, una de las compañías azucareras más grandes de la República Dominicana. Durante su mandato, Grupo Vicini se convirtió en el principal productor privado de azúcar y luego en la corporación más importante de la República Dominicana, con inversiones en muchos sectores económicos claves.
