Lema de Schur
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En matemáticas, el lema de Schur[1] es una proposición elemental muy utilizada en la teoría de representaciones de grupos y álgebras. En el caso de grupos este dice que si M y N son dos representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G y φ es un mapeo lineal de M a N que conmuta con la acción del grupo, entonces φ es invertible, o φ = 0. Un caso especial ocurre cuando M = N y φ es un automapeo. El lema lleva el nombre de Issai Schur, quien lo usó para probar las relaciones de ortogonalidad de Schur y desarrolló las bases de la teoría de representaciones de grupos finitos. El lema de Schur admite generalizaciones hacia los grupos de Lie y el álgebra de Lie.
Si M y N son dos módulos simples sobre un anillo R, entonces cualquier homomorfismo f: M → N de R-módulos es invertible o cero. En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división.
La condición f es un homomorfismo del módulo significa que
- para toda en y en
La versión del grupo es un caso especial de la versión del módulo, ya que cualquier representación de un grupo G puede ser vista equivalentemente como un módulo sobre el anillo del grupo de G.
El lema de Schur se aplica frecuentemente en el siguiente caso particular. Supongamos que R es un álgebra sobre el campo C de los números complejos y M = N es un módulo simple de dimensión finita sobre R. Entonces el lema de Schur dice que el endomorfismo del módulo "M" es un anillo de división; este anillo de división contiene a C en su centro, es de dimensión finita sobre C y por lo tanto es igual a C. Así, el anillo de endomorfismo del módulo M es "tan pequeño como es posible". Más aún, este resultado se cumple para las álgebras sobre cualquier campo algebraicamente cerrado y para módulos simples que son a los más de dimensión numerable. Cuando el campo no es algebraicamente cerrado, el caso donde el anillo del endomorfismo es tan pequeño como es posible es de interés particular: Un módulo simple sobre la k-álgebra se dice ser absolutamente simple si su anillo de endomorfismismo es isomorfo a k. Esto es en general más fuerte que ser irreducible sobre el campo k, e implica que el módulo es irreducible siempre sobre la cerradura algebraica de k.
Forma matricial
Si A, B son dos representaciones irreducibles de un grupo G y T es una matriz tal que para cualquier elemento g del grupo G, entonces T es invertible o es la matriz nula.
El lema de Schur, en el caso especial de una sola representación, afirma lo siguiente. Si A es una matriz compleja de orden n que conmuta con todas las matrices de G entonces A es una matriz escalar. Como un corolario, cada representación compleja irreducible de un grupo Abeliano es unidimensional.
