Lema de Urysohn

Demostramos primero la necesidad, es decir, que si cualquier par de cerrados disjuntos de ${\displaystyle X}$ están separados por una función continua, entonces ${\displaystyle X}$ es un espacio normal. Para ver esto, tomamos un par arbitrario ${\displaystyle A,B}$ de cerrados disjuntos de ${\displaystyle X}$ y encontraremos abiertos disjuntos ${\displaystyle U,V}$ de ${\displaystyle X}$ que contienen a ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, respectivamente. Pero por hipótesis existe una función continua ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$ que vale 0 en ${\displaystyle A}$ y 1 en ${\displaystyle B}$. Ahora, ${\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}})}$ y ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1]}$ son dos abiertos disjuntos de ${\displaystyle [0,1]}$ (con la topología inducida de la usual de ${\displaystyle \mathbb {R} }$) y, por continuidad, ${\displaystyle f^{-1}([0,{\tfrac {1}{2}}))}$ y ${\displaystyle f^{-1}(({\tfrac {1}{2}},1])}$ son dos abiertos disjuntos que contienen por hipótesis a ${\displaystyle A}$ y a ${\displaystyle B}$, respectivamente. De aquí se obtiene la normalidad de ${\displaystyle X}$.

Recíprocamente, supongamos que el espacio ${\displaystyle X}$ es normal y veamos que, de hecho, cualquier par de cerrados disjuntos de ${\displaystyle X}$ se pueden separar por una función continua. Tomamos como antes dos cerrados disjuntos ${\displaystyle A,B}$ de ${\displaystyle X}$. El primer paso es construir, usando la normalidad, una familia de abiertos ${\displaystyle U_{p}}$ indexados por los números racionales del intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ satisfaciendo que, siempre que ${\displaystyle p<q}$, se tenga que ${\displaystyle {\overline {U_{p}}}\subseteq U_{q}}$, donde ${\displaystyle {\overline {V}}}$ representa la adherencia de un conjunto ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle X}$.

Sea ${\displaystyle P=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$ el conjunto de racionales en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$. Vamos a definir, para cada ${\displaystyle p\in P}$, un abierto ${\displaystyle U_{p}}$ de ${\displaystyle X}$ con la propiedad anterior. Al ser ${\displaystyle P}$ numerable (podemos suponer que lo ordenamos de la forma estándar ${\displaystyle P=\{1,0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {4}{5}},\dots \}}$), podemos definir recursivamente el conjunto ${\displaystyle U_{p}}$ suponiendo que tenemos definidos todos los conjuntos ${\displaystyle U_{q}}$ para ${\displaystyle q<p}$.

Empezamos definiendo los conjuntos ${\displaystyle U_{1}}$ y ${\displaystyle U_{0}}$. Tomamos ${\displaystyle U_{1}=X\setminus B}$, que es abierto por ser ${\displaystyle B}$ cerrado. Por ser ${\displaystyle X}$ normal, podemos tomar un abierto ${\displaystyle U_{0}}$ tal que ${\displaystyle A\subseteq U_{0}}$ y ${\displaystyle {\overline {U_{0}}}\subseteq U_{1}}$ (basta usar la definición para los cerrados disjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle X\setminus U_{1}=B}$ y tomar el entorno de ${\displaystyle A}$ como ${\displaystyle U_{0}}$).

Ahora, sea ${\displaystyle P_{n}}$ el conjunto de los primeros ${\displaystyle n}$ números de la numeración de ${\displaystyle P}$ y, recursivamente, supongamos que tenemos definido ${\displaystyle U_{p}}$ para todo ${\displaystyle p\in P_{n}}$ satisfaciendo la relación ${\displaystyle p<q\Rightarrow {\overline {U_{p}}}\subseteq U_{q}}$.${\displaystyle \quad (*)}$

Sea ${\displaystyle r}$ el siguiente racional de la numeración; queremos definir ${\displaystyle U_{r}}$. Consideremos ${\displaystyle P_{n+1}=P_{n}\cup \{r\}}$ con el orden usual de la recta real. Al ser ${\displaystyle r}$ distinto de los elementos máximo y mínimo de este conjunto (el 0 y el 1, que ya han sido tratados) y por ser ${\displaystyle P_{n+1}}$ finito, ${\displaystyle r}$ tiene un predecesor inmediato ${\displaystyle p}$ y un sucesor inmediato ${\displaystyle q}$ en ${\displaystyle P_{n+1}}$. Los conjuntos ${\displaystyle U_{p}}$ y ${\displaystyle U_{q}}$ ya han sido definidos, y cumplen que ${\displaystyle {\overline {U_{p}}}\subseteq U_{q}}$. Como antes, por normalidad de ${\displaystyle X}$, podemos encontrar un abierto ${\displaystyle U_{r}}$ de ${\displaystyle X}$ satisfaciendo que ${\displaystyle {\overline {U_{p}}}\subseteq U_{r}}$ y ${\displaystyle {\overline {U_{r}}}\subseteq U_{q}}$.

Comprobemos que se sigue satisfaciendo ${\displaystyle (*)}$ para cada par de elementos de ${\displaystyle P_{n+1}}$. Si ambos elementos pertenecen a ${\displaystyle P_{n}}$, ${\displaystyle (*)}$ se sigue por hipótesis de inducción. Si no, un elemento es ${\displaystyle r}$ y el otro es un cierto ${\displaystyle s\in P_{n}}$. Entonces, o bien ${\displaystyle s\leq p}$, en cuyo caso ${\displaystyle {\overline {U_{s}}}\subseteq U_{p}\subseteq {\overline {U_{p}}}\subseteq U_{r}}$, o bien ${\displaystyle s\geq q}$, en cuyo caso ${\displaystyle {\overline {U_{r}}}\subseteq U_{q}\subseteq {\overline {U_{q}}}\subseteq U_{s}}$. En cualquier caso, ${\displaystyle (*)}$ sigue siendo cierta en ${\displaystyle P_{n+1}}$. Por inducción, tenemos definido ${\displaystyle U_{p}}$ para cada ${\displaystyle p\in P}$.

El siguiente paso es extender la definición de ${\displaystyle U_{p}}$ para cualquier ${\displaystyle p}$ racional (no sólo en ${\displaystyle [0,1]}$). Para ello, definimos ${\displaystyle U_{p}=\emptyset }$ para ${\displaystyle p<0}$ y ${\displaystyle U_{p}=X}$ para ${\displaystyle p>1}$. Claramente se sigue satisfaciendo ${\displaystyle (*)}$.

El último paso es construir la función ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$ que separa continuamente los conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$. Para ello, primero definimos, para ${\displaystyle x\in X}$, el conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ como los racionales ${\displaystyle p}$ tales que sus respectivos ${\displaystyle U_{p}}$ contienen el punto ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)=\{p\in \mathbb {Q} :x\in U_{p}\}}$. Observamos que este conjunto no contiene ningún elemento menor que 0, pues ningún ${\displaystyle x}$ pertenece a ${\displaystyle U_{p}}$ para ${\displaystyle p<0}$, y contiene a todos los racionales p mayores que 1, pues todos los ${\displaystyle x}$ están en ${\displaystyle U_{p}}$ para ${\displaystyle p>1}$. Por tanto, ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ tiene su ínfimo en el conjunto ${\displaystyle [0,1]}$. Podemos definir pues ${\displaystyle f(x)=\inf \mathbb {Q} (x)=\inf\{p\in \mathbb {Q} :x\in U_{p}\}}$.

Falta ver que ${\displaystyle f}$ cumple lo que queremos. En efecto, si ${\displaystyle x\in A}$, tenemos que ${\displaystyle x\in U_{p}\quad \forall p\geq 0}$, por lo que ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)=[0,\infty )\cap \mathbb {Q} }$ y ${\displaystyle f(x)=0}$; si ${\displaystyle x\in B}$, entonces ${\displaystyle x\notin U_{p}\quad \forall p<1}$, por lo que ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)=(1,\infty )\cap \mathbb {Q} }$ y ${\displaystyle f(x)=1}$.

Lo único que queda por demostrar es que ${\displaystyle f}$ es, en efecto, continua. Esta es la parte más difícil, y demostramos antes dos resultados elementales:

${\displaystyle (1)\ \ x\in {\overline {U_{r}}}\Rightarrow f(x)\leq r}$ : En efecto, si ${\displaystyle x\in {\overline {U_{r}}}}$, entonces ${\displaystyle x\in U_{s}\quad \forall s>r}$. Por tanto, ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ contiene todos los racionales mayores que ${\displaystyle r}$, y ${\displaystyle f(x)=\inf \mathbb {Q} (x)\leq r}$.

${\displaystyle (2)\ \ x\notin U_{r}\Rightarrow f(x)\geq r}$ : En efecto, si ${\displaystyle x\notin U_{r}}$, entonces ${\displaystyle x\notin U_{s}\quad \forall s<r}$. Por tanto, ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ no contiene ningún racional menor que ${\displaystyle r}$, y ${\displaystyle f(x)=\inf \mathbb {Q} (x)\geq r}$.

Para ver la continuidad de ${\displaystyle f}$, tomamos ${\displaystyle x_{0}\in X}$ y ${\displaystyle (c,d)\ni f(x_{0})}$ un intervalo abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$; buscamos un entorno ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que ${\displaystyle f(U)\subseteq (c,d)}$. Podemos tomar números racionales ${\displaystyle p,q}$ tales que ${\displaystyle c<p<f(x_{0})<q<d}$.

Afirmamos que el abierto ${\displaystyle U=U_{q}\setminus {\overline {U_{p}}}}$ es el entorno que buscamos. En efecto, ${\displaystyle x_{0}\in U}$, ya que ${\displaystyle f(x_{0})<q}$ implica, por ${\displaystyle (2)}$, que ${\displaystyle x_{0}\in U_{q}}$, mientras que ${\displaystyle f(x_{0})>p}$ implica, por ${\displaystyle (1)}$, que ${\displaystyle x_{0}\notin {\overline {U_{p}}}}$. Además, ${\displaystyle f(U)\subseteq (c,d)}$. Sea ${\displaystyle x\in U}$. Entonces, ${\displaystyle x\in U_{q}\subseteq {\overline {U_{q}}}{\overset {(1)}{\Longrightarrow }}f(x)\leq q}$ y, además, ${\displaystyle x\notin {\overline {U_{p}}}\Rightarrow x\notin U_{p}{\overset {(2)}{\Longrightarrow }}f(x)\geq p}$. Por tanto, ${\displaystyle f(x)\in [p,q]\subseteq (c,d).}$ Por tanto, ${\displaystyle f}$ es continua y esto concluye la demostración. ${\displaystyle \quad \square }$

• Willard, Stephen (1970). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 
• Munkres, James (1999). Topology. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.