Lema del número de Lebesgue

Sea ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ un recubrimiento abierto de ${\displaystyle X}$. Dado que ${\displaystyle X}$ es compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}}$ . Si algún conjunto ${\displaystyle A_{i}}$ es igual a ${\displaystyle X}$, entonces podemos tomar cualquier ${\displaystyle \delta >0}$ como número de Lebesgue y hemos acabado. Supongamos pues que no: para cada ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$, sea ${\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}}$, que será pues no vacío, y definamos la función ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ como la distancia media de un punto a fuera de cada conjunto ${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})}$.

Dado que ${\displaystyle f}$ es continua en un conjunto compacto, por el teorema de Weierstrass, alcanza su mínimo ${\displaystyle \delta }$ en un cierto punto ${\displaystyle x\in X}$. La observación clave es que, dado que ${\displaystyle x}$ está contenido en algún abierto ${\displaystyle A_{i}}$ (pues recubren ${\displaystyle X}$), entonces ${\displaystyle \delta =f(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})\geq {\tfrac {1}{n}}d(x,C_{i})>0}$.

Ahora podemos verificar que este ${\displaystyle \delta }$ es el número de Lebesgue deseado. Si ${\displaystyle Y}$ es un subconjunto de ${\displaystyle X}$ con un diámetro menor a ${\displaystyle \delta }$, entonces, por definición de diámetro, existe ${\displaystyle y_{0}\in X}$ tal que ${\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(y_{0})}$, donde ${\displaystyle B_{\delta }(y_{0})}$ denota la bola de radio ${\displaystyle \delta }$ con centro en ${\displaystyle y_{0}}$ (concretamente, uno puede escoger ${\displaystyle y_{0}}$ cualquier punto en ${\displaystyle Y}$). Dado que ${\displaystyle f(y_{0})\geq \delta }$ (por definición del ${\displaystyle \delta }$ tomado), tiene que existir al menos un ${\displaystyle i}$ tal que ${\displaystyle d(y_{0},C_{i})\geq \delta }$ (por definición de ${\displaystyle f}$). Esto implica que ${\displaystyle B_{\delta }(y_{0})\subseteq A_{i}}$ y, en particular, que ${\displaystyle Y\subseteq A_{i}}$. ${\displaystyle \quad \square }$

Como ${\displaystyle X}$ es compacto métrico, es secuencialmente compacto, es decir, toda sucesión de puntos de ${\displaystyle X}$ tiene una subsucesión convergente. Suponemos pues que ${\displaystyle X}$ es secuencialmente compacto y que ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\ \vert \ i\in I\}}$ es un recubrimiento abierto de ${\displaystyle X}$ que no tiene un número de Lebesgue y llegaremos a contradicción. Que el recubrimiento no tenga un número de Lebesgue quiere decir que para cualquier ${\displaystyle \delta >0}$ existe un conjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$ de diámetro menor que ${\displaystyle \delta }$ que no está contenido en ningún ${\displaystyle U_{i},\ i\in I}$ (es decir, ningún ${\displaystyle \delta }$ sirve como número de Lebesgue del recubrimiento).

Si para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ tomamos ${\displaystyle \delta _{n}={\tfrac {1}{n}}}$, podemos construir una sucesión de subconjuntos ${\displaystyle A_{n}}$ de ${\displaystyle X}$ tal que para cada ${\displaystyle n}$ se tiene que ${\displaystyle \operatorname {diam} (A_{n})<{\tfrac {1}{n}}}$ pero ${\displaystyle A_{n}\not \subseteq U_{i}\ \forall i\in I}$. De esta última "no inclusión" se deduce que los ${\displaystyle A_{n}}$ son no vacíos (si lo fueran, estarían incluidos en cualquier conjunto; en particular, en ${\displaystyle U_{i}}$). Por tanto, el axioma de elección nos permite formar una sucesión de puntos ${\displaystyle (x_{n})}$ tal que ${\displaystyle x_{n}\in A_{n}}$ para cada ${\displaystyle n}$. Como ${\displaystyle X}$ es secuencialmente compacto, esta sucesión tiene una subsucesión convergente ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ hacia un cierto punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$.

Como ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ es un recubrimiento de ${\displaystyle X}$, existe un ${\displaystyle i_{0}\in I}$ tal que ${\displaystyle x_{0}\in U_{i_{0}}}$. Nuestro objetivo es ver que para un ${\displaystyle k}$ suficientemente grande el conjunto ${\displaystyle A_{n_{k}}}$ también estará totalmente incluido en ${\displaystyle U_{i_{0}}}$, lo que entra en contradicción con nuestras hipótesis.

Como ${\displaystyle U_{i_{0}}}$ es un abierto métrico, existe un radio ${\displaystyle r>0}$ suficientemente pequeño tal que ${\displaystyle B(x_{0},r)\subseteq U_{i_{0}}}$. Por convergencia de la sucesión ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$, para ${\displaystyle k}$ suficientemente grande, todos los elementos de la sucesión estarán en ${\displaystyle B(x_{0},{\tfrac {r}{2}})}$: ${\displaystyle \exists k_{0}\in \mathbb {Z} _{>0}}$ tal que ${\displaystyle \forall k\geq k_{0}\ \ x_{n_{k}}\in B(x_{0},{\tfrac {r}{2}})}$.

Además, existe ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} _{>0}}$ suficientemente grande tal que ${\displaystyle \delta _{M}={\tfrac {1}{M}}<{\tfrac {r}{2}}}$. Tomemos ${\displaystyle k}$ suficientemente grande para que se satisfaga tanto que ${\displaystyle n_{k}\geq M}$ como que ${\displaystyle k\geq k_{0}}$. Afirmamos que ${\displaystyle A_{n_{k}}\subseteq U_{i_{0}}}$, lo que es una contradicción con que para cada ${\displaystyle n}$ se tenga que ${\displaystyle A_{n}\not \subseteq U_{i}\ \forall i\in I}$, y habremos acabado. En efecto, sea ${\displaystyle x\in A_{n_{k}}}$. Se tiene que:

• ${\displaystyle d(x_{n_{k}},x)\leq \operatorname {diam} (A_{n_{k}})<{\tfrac {r}{2}}}$, la última desigualdad porque ${\displaystyle n_{k}\geq M}$, por lo que ${\displaystyle \operatorname {diam} (A_{n_{k}})<{\tfrac {1}{n_{k}}}\leq {\tfrac {1}{M}}<{\tfrac {r}{2}}}$, por elección de ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle d(x_{n_{k}},x_{0})<{\tfrac {r}{2}}}$, por ser ${\displaystyle k\geq k_{0}}$.

Ahora, por desigualdad triangular, ${\displaystyle d(x,x_{0})<r}$ por lo que ${\displaystyle x\in B(x_{0},r)\subseteq U_{i_{0}}}$, de donde se deduce que ${\displaystyle A_{n_{k}}\subseteq U_{i_{0}}}$. ${\displaystyle \quad \square }$