Leyes de Faxén

La primera ley de Faxen fue introducida en 1922 por el físico sueco Hilding Faxén, que en ese momento estaba activo en la Universidad de Uppsala, y está dada por la siguiente ecuación:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {F} =6\pi \mu \ a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right]}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathbf {F} }$	Fuerza que ejerce el fluido sobre la esfera
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad newtoniana del medio en el que se coloca la esfera
${\displaystyle a}$	Radio de la esfera
${\displaystyle \mathbf {U} }$	Velocidad de traslación de la esfera
${\displaystyle \mathbf {u} '}$	Velocidad de perturbación causada por las otras esferas en suspensión, no por el flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera
${\displaystyle \mathbf {u} ^{\infty }}$	Flujo de fondo evaluado en el centro de la esfera establecido como cero en algunas referencias

También se puede escribir la fórmula anterior de la siguiente forma:

${\displaystyle \mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} '}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle b_{0}}$	Movilidad	${\displaystyle b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}}$

En el caso de que el gradiente de presión sea pequeño en comparación con la escala de longitud del diámetro de la esfera, y cuando no hay una fuerza externa, los dos últimos términos de esta forma pueden ser despreciables. En este caso, el flujo de fluido externo simplemente no afecta a la esfera.

La segunda ley de Faxén está dada por la siguiente ecuación:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathbf {T} }$	Par que ejerce el fluido sobre la esfera
${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$	Velocidad angular de la esfera
${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$	Velocidad angular del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera que puede suponerse nula en algunas interpretaciones

Batchelor y Green^[3] derivaron una ecuación para el elemento estresante, dada por:^[1][2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],}$

Símbolo	Nombre	Fórmula
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}}$	Tensión (parte simétrica del primer momento de fuerza) ejercida por el fluido en la esfera
${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '}$	Tensor del gradiente de velocidad
${\displaystyle \mathrm {T} }$	Transposición
	Velocidad de deformación, o deformación, tensor	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }}$	Velocidad de deformación del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera, supuesta cero en algunos casos	${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]}$

Debe tenerse en cuenta que no hay una tasa de tensión en la esfera (no ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}}$) ya que se asume que las esferas son rígidas.

La ley de Faxén es una corrección a la ley de Stokes para la fricción en objetos esféricos en un fluido viscoso, válido cuando el objeto se mueve cerca de una pared del contenedor.^[4]