Límite (sucesión de conjuntos)

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Sea ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$ una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como ${\displaystyle A_{n}\uparrow }$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$.^[3]

De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como ${\displaystyle A_{n}\downarrow }$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que ${\displaystyle A_{n}\supseteq A_{n+1}}$.^[3]

Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que:

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}$

El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como:^[2]

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

es decir, como la unión de los infinitos conjuntos A_n de la sucesión. Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente. Fijado un n se tiene que:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}$

Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como:^[2]

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

esto es, como la intersección de los conjuntos A_n de la sucesión.

Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.^[3]

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De manera más general y dada cualquier sucesión de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente:^[1]

Sea una sucesión de conjuntos (An)n. El límite inferior es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión salvo quizá un número finito de ellos: ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}$ El límite superior es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a infinitos conjuntos en la sucesión: ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}$

De las definiciones anteriores se puede obtener la relación:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}$

En el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión A_n:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}$

• Límite matemático
• Límite superior y límite inferior