Línea isostática

Dado un plano representado mediante pares de coordenadas cartesianas (x, y) y estad elástico plano el ángulo θ formado por la mayor tensión principal y el eje X viene dado por:

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}}$

De ahí puede deducirse la forma y(x) de las isostáticas para un estado de elasticidad plana:

${\displaystyle \tan {\frac {dy}{dx}}=\theta \quad \Rightarrow \quad \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{\sigma _{xy}}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)-1=0}$

por lo que existen dos familias diferentes de isostáticas cada una de ella ortogonal en cada punto a la otra dadas por:^[1]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\right)^{2}+1}}}$

• Un borde libre por ejemplo constituye siempre una isostática y la otra familia de isostáticas convergen hacia él perpendicularmente.
• Las diferentes familias de isostáticas sólo pueden cortarse donde las direcciones principales no estén bien definidas o donde las tensiones principales se anulan:

  Una condición necesaria en el plano para que las direcciones principales no estén bien definidas es que el punto sea un punto singular isotrópico, es decir, σ_xx = σ_yy y σ_xy = 0.

  Si en particular se cumple además en un punto que: σ_xx = σ_yy = σ_xy = 0, se tiene un punto singular neutro.

• En un punto singular las isostáticas son de dos tipos:
  • Tipo intersectivo, donde cada isostática rodea el punto singular y además se interseca con todas las de la otra familia.
  • Tipo asintótico, donde las isostáticas convergen directamente hacia el punto y en el punto las dos familias de curvas se cortan en dicho punto.