Mahavira (matemático)

El Gaṇita-sāra-saṅgraha de Mahāvīra dio reglas sistemáticas para expresar una fracción como la suma de fracciones unitarias.[14] Esto sigue el uso de fracciones unitarias en las matemáticas indias en el período védico, y los Śulba Sūtras dan una aproximación de √2 equivalente a:

${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}}$

En el Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), la segunda sección del capítulo sobre aritmética se denomina kalā-savarṇa-vyavahāra (lit. «la operación de reducción de fracciones»). En ella, la sección bhāgajāti (versos 55-98) establece reglas para lo siguiente:

• Para expresar 1 como la suma de n fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 75, ejemplos en 76):

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

When the result is one, the denominators of the quantities having one as numerators are [the numbers] beginning with one and multiplied by three, in order. The first and the last are multiplied by two and two-thirds [respectively].

${\displaystyle 1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}}$

• Para expresar 1 como la suma de un número impar de fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 77):

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}}$

• Para expresar una fracción unitaria ${\displaystyle 1/q}$ como la suma de otras n fracciones con numeradores dados ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$(GSS kalāsavarṇa 78, ejemplos en 79):

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}}$

• Para expresar cualquier fracción ${\displaystyle p/q}$ como suma de fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 80, ejemplos en 81):

Elija un entero i tal que ${\displaystyle {\tfrac {q+i}{p}}}$ es un entero r, entonces escribe

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}}$

y repetir el proceso para el segundo término, recursivamente. (Tenga en cuenta que si i siempre se elige como el entero más pequeño, esto es idéntico al algoritmo voraz para fracciones egipcias).

• Para expresar una fracción unitaria como la suma de otras dos fracciones unitarias (GSS kalāsavarṇa 85, ejemplo en 86):

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}}$ donde ${\displaystyle p}$ debe elegirse de tal manera que ${\displaystyle {\frac {p\cdot n}{n-1}}}$ es un entero (para el cual ${\displaystyle p}$ debe ser un múltiplo de ${\displaystyle n-1}$)

${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}}$

• Para expresar una fracción ${\displaystyle p/q}$ como la suma de otras dos fracciones con numeradores dados ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ (GSS kalāsavarṇa 87, ejemplo en 88):

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}}$ donde ${\displaystyle i}$ debe elegirse de tal manera que ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle ai+b}$

Se dieron algunas reglas adicionales en el Gaṇita-kaumudi de Nārāyaṇa en el siglo XIV.