Material clinotrópico

La simetría trigonal es el caso de clinotropía con mayor simetría y para el que menos constantes elásticas son necesarias, seis en total. En el caso de un material clinotrópico de tipo trigonal que además sea elástico lineal las relaciones tensión-deformación, usando la notación de Voigt, vienen dadas en cada punto por:^[3]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&-C_{14}&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\C_{14}&-C_{14}&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&C_{14}\\0&0&0&0&C_{14}&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}}$

La matriz de flexibilidad (compliaza) que da las relaciones deformación-tensión tiene una forma análoga a la matriz de rigidez (${\displaystyle C_{ij}}$) anterior.

La simetría monoclínica se caracteriza por la existencia de un único plano de reflexión, la poca simetría hace que el compartimiento sea muy dispar diferentes direcciones alrededor de un punto requiriéndose trece constantes elásticas en total. Un material clinotrópico monolítico, que tenga una comportameinto elástico lineal, se caracteriza por las siguientes relaciones tensión-deformación:^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&C_{36}\\0&0&0&C_{44}&C_{45}&0\\0&0&0&C_{45}&C_{55}&0\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}}$

La matriz de flexibilidad que da las relaciones deformación-tensión tiene una forma análoga. Adaptando la notación típicamente usada para materiales ortótropos la matriz de flexibilidad podría escribirse como:^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{1}}}&-{\tfrac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\tfrac {\nu _{13}}{E_{1}}}&0&0&-{\tfrac {\alpha _{1}}{E_{1}}}\\-{\tfrac {\nu _{21}}{E_{2}}}&{\tfrac {1}{E_{2}}}&-{\tfrac {\nu _{23}}{E_{2}}}&0&0&-{\tfrac {\alpha _{2}}{E_{2}}}\\-{\tfrac {\nu _{31}}{E_{3}}}&-{\tfrac {\nu _{32}}{E_{3}}}&{\tfrac {1}{E_{3}}}&0&0&-{\tfrac {\alpha _{3}}{E_{3}}}\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{23}}}&-{\tfrac {\beta _{23}}{G_{23}}}&0\\0&0&0&-{\tfrac {\beta _{31}}{G_{31}}}&{\tfrac {1}{G_{31}}}&0\\-{\tfrac {\alpha _{1}}{E_{1}}}&-{\tfrac {\alpha _{2}}{E_{2}}}&-{\tfrac {\alpha _{3}}{E_{3}}}&0&0&{\tfrac {1}{G_{12}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

Con las siguientes restricciones, que garantizan que la matriz anterior sea simétrica:

${\displaystyle {\frac {\nu _{ij}}{E_{i}}}={\frac {\nu _{ji}}{E_{j}}},\quad {\frac {\beta _{23}}{G_{23}}}={\frac {\beta _{31}}{G_{31}}}}$

Las constantes independientes pueden escogerse como tres módulos de elasticidad longitudinal (${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}$), tres coeficientes de Poisson (${\displaystyle \nu _{12},\nu _{13},\nu _{23}}$), tres módulos de elasticidad transversal (${\displaystyle G_{12},G_{13},G_{23}}$) y las cuatro constantes adicionales (${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta _{23},}$), que dan un total de 13 constantes elásticas independientes.

Este es el grado más alto de anisotropía, con un grupo de simetría trivial o de orden 2. Por esa razón requiere una matriz de rigidez que en notación de Voigt no tiene ninguna componente nula y, por tanto, requiere 21 constantes elásticas para definir las relaciones tensión-deformación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}}$

• Sokołowski, Damian; Kamiński, Marcin (2018). «Homogenization of carbon/polymer composites with anisotropic distribution of particles and stochastic interface defects». Acta Mechanica 229 (9): 3727-3765. doi:10.1007/s00707-018-2174-7. 
• Zheng, Q. S. (Nov 1994). «Theory of representations for tensor functions—a unified invariant approach to constitutive equations». Appl. Mech. Rev. (ASME) 47 (11): 547-587. doi:10.1115/1.3111066. 
• Zheng, Q. S. (1997). «A unified invariant description of micromechanically-based effective elastic properties for two-dimensional damaged solids». Mechanics of materials (Elsevier) 25 (4): 273-289. doi:10.1016/S0167-6636(97)00013-6.