Media generalizada

Sea ${\displaystyle x}$ una variable discreta que asume los ${\displaystyle n}$ valores positivos

${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$

, el número

${\displaystyle c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}}$

se denomina media potencial de grado ${\displaystyle \beta }$ de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$. En particular, el número^[2]

${\displaystyle c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

${\displaystyle c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}}$

se llama media cuadrática;,^[3] finalmente, el número

${\displaystyle c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}}$

se denomina media armónica de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$.

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado ${\displaystyle \beta }$, de modo que puede asumir cualquier valor real

${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$

Y el valor de x debe ser positivo.^[4]

Si ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ son números positivos y, a su vez, ${\displaystyle k<0<l}$ entonces se cumple

${\displaystyle c_{k}\leq G\leq c_{l}}$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_n^n[5]

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión^[6]

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

${\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j}$

Para ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es continua respecto a ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$. Obsérvese que para valores de ${\displaystyle m\leq 0}$ la expresión solo tiene sentido si todos los ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.^[7]