Medida de Banach

La aditividad finita de μ implica que ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ y ${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$ para cualquier conjunto disjunto por pares ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ . También tenemos ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$ cuando sea ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Dado que μ extiende la medida de Lebesgue, sabemos que ${\displaystyle \mu (A)=0}$ siempre que A sea un conjunto finito o contable y que ${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$ para cualquier producto de intervalos ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{1},b_{1}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Dado que μ es invariante en isometrías, es en particular invariante en rotaciones y traslaciones.

Stefan Banach demostró que existen medidas de Banach en R¹ y R². Estos resultados pueden derivarse del hecho de que los grupos de isometrías de R¹ y de R² son solubles.

La existencia de estas medidas demuestra la imposibilidad de una paradoja de Banach-Tarski en una o dos dimensiones: no es posible descomponer un conjunto unidimensional o bidimensional de medidas finitas de Lebesgue en un número finito de conjuntos que puedan reensamblarse en un conjunto con una medida de Lebesgue diferente, porque esto violaría las propiedades de la medida de Banach que extiende la medida de Lebesgue.^[3]

Por el contrario, la existencia de la paradoja de Banach-Tarski en todas las dimensiones n ≥ 3 muestra que no puede existir ninguna medida de Banach en estas dimensiones.

Como muestra la paradoja de Vitali, las medidas de Banach no pueden fortalecerse para ser contablemente aditivas: existen subconjuntos de R ⁿ que no son medibles según Lebesgue, para todo n ≥ 1.

La mayoría de estos resultados dependen de alguna forma del axioma de elección. Utilizando sólo los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, no es posible derivar la paradoja de Banach-Tarski, ni es posible probar la existencia de conjuntos que no son mensurables según Lebesgue (esta última afirmación depende de (una suposición bastante débil y ampliamente aceptada, a saber, que la existencia de cardenales inaccesibles es consistente). La existencia de medidas de Banach en R¹ y en R² tampoco puede probarse en ausencia del axioma de elección.^[4] En particular, no se puede dar ninguna fórmula concreta para estas medidas de Banach.