Medida discreta

Dadas dos medidas σ-finitas (positivas) ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ en un espacio mensurable ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. Entonces ${\displaystyle \mu }$ se dice que es discreto con respecto a ${\displaystyle \nu }$ si existe un subconjunto contable como máximo ${\displaystyle S\subset X}$ en ${\displaystyle \Sigma }$ tal que

1. Todos los solteros ${\displaystyle \{s\}}$ con ${\displaystyle s\in S}$ son mensurables (lo que implica que cualquier subconjunto de ${\displaystyle S}$ es mensurable)
2. ${\displaystyle \nu (S)=0\,}$
3. ${\displaystyle \mu (X\setminus S)=0.\,}$

Una medida ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ es discreto (con respecto a ${\displaystyle \nu }$ ) si y solo si ${\displaystyle \mu }$ tiene la forma

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}}$

con ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}}$ y medidas de Dirac ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$ En el set ${\displaystyle S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ definido como

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

para todos ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

También se puede definir el concepto de discreción para las medidas firmadas. Entonces, en lugar de las condiciones 2 y 3 anteriores, uno debería preguntar que ${\displaystyle \nu }$ ser cero en todos los subconjuntos mensurables de ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle \mu }$ ser cero en subconjuntos mensurables de ${\displaystyle X\backslash S.}$