Menos uno

• Es el número opuesto de 1, es decir, el número que, cuando se le suma a 1, da 0.
• Tiene algunas propiedades similares pero ligeramente diferentes a las propiedades positivas de (uno); sería un multiplicador de identidad si no fuera por el cambio de signo: (−1) · x = −x ; según la definición de que x⁻¹ = -x.
• En los números imaginarios, el i^2 es igual a −1.
• El número −1 está presente en la identidad de Euler: ${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$.
• Es, en informática, un valor inicial para enteros en algunos lenguajes; también se utiliza para mostrar una variable que no contiene nada de informaciones útiles.

Multiplicar un número por −1 es equivalente a cambiar el signo del número. O sea, para todo x se tiene (−1) ⋅ x = −x. Lo cual se puede demostrar utilizando la propiedad distributiva y el axioma que 1 es el elemento neutro:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Donde se ha hecho uso de la propiedad de que todo número x multiplicado por 0 es igual a 0, lo cual se deduce de la cancelación a partir de la ecuación

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

En otras palabras,

x + (−1) ⋅ x = 0,

por lo que (−1) ⋅ x es la inversa aditiva de x, o sea (−1) ⋅ x = −x, como se demostró previamente.

El cuadrado de −1 (es decir, −1 por −1) es igual a 1. Por lo tanto, el producto de dos números negativos es positivo.

Para demostrar esto algebraicamente, se comienza con la ecuación:

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$

La primera ecuación se deriva del resultado anterior. La segunda se deriva de la definición de −1 como el inverso aditivo de 1: es precisamente el número que da 0 al sumarse a 1. Aplicando la propiedad distributiva, vemos:

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$.

La segunda ecuación se deriva del hecho de que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Sumando 1 a ambos lados de la última ecuación se obtiene:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$.

Las consecuencias anteriores también se aplican a cualquier anillo que generalice el álgebra abstracta de números enteros y reales.

El número complejo i satisface i² = −1 y, por lo tanto, se considera la raíz cuadrada de −1.^[3][4][5] El único otro número complejo x que satisface la ecuación x² = −1 es −i. En el álgebra de cuaterniones, que contiene el plano complejo, la ecuación x² = −1 tiene infinitas soluciones.^[6][7][8]

La exponenciación de un número real distinto de cero se puede extender a números enteros negativos, donde elevar un número a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su inverso multiplicativo:

x⁻¹ = 1/x.

Esta definición se aplica a los enteros negativos, preservando la ley exponencial x^ax^b = x^{(a + b)} para los números reales a y b.

Un −1 superíndice en f ⁻¹(x) representa la función inversa de f(x), donde ( f(x))⁻¹ expresa específicamente un recíproco puntual.^[9] Donde f es biyectiva especificando un codominio de llegada de todo y ∈ Y  para todo valor del dominio x ∈ X, habrá

f⁻¹( f(x)) = x,  y  f⁻¹( f(y)) = y.

Cuando un subconjunto del codominio se especifica dentro de la función f, su inversa provee una imagen inversa, o preimagen, de ese subconjunto para la función.

La potenciación de un número real distinto de cero se puede extender a los enteros negativos. Se define que x⁻¹ = 1/x, significando que un número elevado a la potencia −1 tiene el mismo efecto que obtener su recíproco. Esta definición es luego extendida a los enteros negativos, preservando la ley de potencia x^ax^b = x^{(a + b)} para números reales a y b.

La potenciación a enteros negativos puede ser extendida a elementos no invertibles de un anillo, si se define x⁻¹ como la inversa multiplicativa de x.

Un −1 que se presenta como un sobreíndice de una función no significa que se debe tomar la recíproca puntual de la función, sino la función inversa de la función. Por ejemplo, sin⁻¹(x) es una notación para la función arcoseno, y en general f ⁻¹(x) representa la función inversa de f(x),. Cuando un subconjunto del codominio es especificado en la función, el mismo representa la preimagen del subconjunto para esa función.

Hay varias representaciones diferentes de −1 y enteros negativos en general en los sistemas informáticos. El más utilizado es el complemento a dos de su forma positiva. Menos uno tiene la misma representación en complemento a dos que el entero positivo 2 n − 1, donde n es el número de dígitos binarios en la representación (el número de bits en el tipo de datos). Por ejemplo, 11111111₂ ( binario ) o FF ₁₆ ( hex ) para n = 8 representa el número −1 en complemento a dos, pero 255 en la representación estándar.

La historia del número −1 forma parte de la historia de los números negativos, cuya aceptación como entidades matemáticas legítimas fue un proceso lento y discontinuo que se extendió durante cerca de dos milenios. Mientras que algunas tradiciones matemáticas de Asia los emplearon desde la Antigüedad para resolver problemas prácticos, en Europa fueron considerados durante siglos cantidades «falsas», «ficticias» o «absurdas», y su plena justificación formal no se alcanzó hasta el siglo XIX.^[12]

• Teorema de Menelao
• 1 a. C.
• 2 a. C. (año -1)
• Super Mario Bros. (en el mundo 1-2 al atravesar las paredes de la tubería de salida hacia el banderín de meta, si entras a la primera tubería te saldrá el nivel extraño -1)