Modelo paramétrico

Un modelo estadístico es una colección de distribuciones de probabilidad en algunos espacios muestrales. Se supone que la colección, 𝒫, está indexada por algún conjunto Θ. Para cada θ ∈ Θ, si P_θ denota el miembro correspondiente de la colección; y además P_θ es una función de distribución. Entonces, un modelo estadístico se puede escribir como

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}P_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

El modelo es un modelo paramétrico si Θ ⊆ ℝ^k para algún entero positivo k.

Cuando el modelo consta de distribuciones continuas, a menudo se especifica en términos de las funciones de densidad de probabilidad correspondientes:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

• Una familia de distribuciones de Poisson está parametrizado por un solo número λ > 0:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

donde p_λ es e la función de probabilidad. Es una familia exponencial.

• Una familia de distribuciones normales está parametrizado por θ = (μ, σ), donde μ ∈ ℝ es un parámetro de ubicación y σ > 0 es un parámetro de escala:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Es una familia exponencial y una familia por localización y escala.

• Una familia de distribuciones de Weibull tiene un parámetro tridimensional θ = (λ, β, μ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

• Una familia de modelos binomiales está parametrizado por θ = (n, p), donde n es un número entero no negativo y p es una probabilidad (es decir, p ≥ 0 y p ≤ 1):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

Este ejemplo ilustra la definición de un modelo con algunos parámetros discretos.

Un modelo paramétrico se llama identificable si la aplicación θ ↦ P_θ es invertible, es decir, no hay dos valores de parámetros diferentes, θ₁ y θ₂, tales que P_θ1 = P_θ2.

Los modelos paramétricos se contrastan con los semi paramétricos, los semi no paramétricos y los no paramétricos, todos los cuales están relacionados con un conjunto infinito de parámetros para su descripción. La distinción entre estas cuatro clases es la siguiente: ^{[cita requerida]}

• Un modelo es "paramétrico" cuando todos sus parámetros pertenecen a espacios de dimensión finita
• Un modelo es "no paramétrico" si todos los parámetros pertenecen a espacios de dimensión infinita
• Un modelo es "semi paramétrico' si contiene parámetros de interés de dimensión finita y parámetros molestos de dimensión infinita
• Un modelo es "semi no paramétrico" si contiene parámetros de interés desconocidos, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita

Algunos estadísticos consideran que los conceptos "paramétrico", "no paramétrico" y "semiparamétrico" son ambiguos.^[2] También se puede observar que el conjunto de todas las medidas de probabilidad tiene la cardinalidad del continuo, y por lo tanto es posible parametrizar cualquier modelo por un solo número en el intervalo (0,1).^[3] Esta dificultad se puede evitar considerando solo los modelos paramétricos "suaves".

• Familia paramétrica
• Estadística paramétrica
• Modelo estadístico
• Especificación (Análisis de la regresión)