Máquina de Galton

Si una cuenta rebota hacia la derecha k veces en su camino hacia abajo (y hacia la izquierda en las clavijas restantes), termina en el contenedor k-ésimo contando desde la izquierda. Numerando las filas de clavos en un tablero de Galton como n, el número de caminos al contenedor k-ésimo en la parte inferior está dado por el coeficiente binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$. El contenedor más a la izquierda es el contenedor 0, junto a él está el contenedor 1, etc. y el más alejado a la derecha es el contenedor n, lo que hace que el número total de contenedores sea igual a n+1 (cada fila no necesita tener más clavos que el número que identifica la fila en sí, por ejemplo, la primera fila tiene 1 clavo, la segunda 2 clavos, hasta la n-ésima fila que tiene n clavos que corresponden a los n+1 contenedores), el resultado que se obtendría de la distribución de cuentas sería una distribución normal.

Si la probabilidad de rebotar a la derecha en una clavija es p (que es igual a 0.5 en una máquina nivelada), la probabilidad de que la bolita termine en el contenedor k-ésimo es igual a ${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$. Este es el funcionamiento habitual de la probabilidad en una función binomial. El número de filas se corresponde con el tamaño de la distribución binomial del número de intentos, mientras que la probabilidad p de cada clavo es la p binomial.

De acuerdo con el teorema del límite central (más específicamente, el teorema de Moivre-Laplace), la distribución binomial se aproxima a la distribución normal siempre que el número de filas y el número de cuentas sean grandes. Variar las filas dará como resultado diferentes desviaciones estándar o lo que es lo mismo, diferentes anchos de la curva en forma de campana o distribución normal en los contenedores.

Otra interpretación más precisa desde el punto de vista físico la da la Entropía: dado que la energía que transporta cada bolita que cae es finita, y sus colisiones son caóticas porque la deriva que tomen es indefinida (no hay forma de calcular previamente de qué lado va a caer), la media y la varianza de cada cuenta están obligadas a ser finitas (nunca saltarán fuera de la caja), por lo que surge la forma gaussiana dado que es la distribución de probabilidad de máxima entropía para un proceso continuo con media y varianza definidas. Por lo tanto, el aumento de la distribución normal podría interpretarse como que toda la información posible transportada por cada cuenta relacionada con el camino que ha recorrido se pierde por completo debido a sus colisiones cuesta abajo.

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  Antes y después del giro
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  Una réplica de la máquina (siguiendo un diseño ligeramente modificado.)