Método de Graeffe

Sea ${\displaystyle f(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+...+p_{n}x^{n}=0}$

La ecuación propuesta, con raíces ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}.}$.La primera parte del método, es un algoritmo para la formación de la ecuación con raíces ${\displaystyle a_{1}^{2},a_{2}^{2},...,a_{n}^{2}}$.

Sea ${\displaystyle f(x)=p_{n}(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n}),}$

${\displaystyle (-1)^{n}f(-x)=p_{n}(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{n})}$

Multiplicando estas ecuaciones, miembro a miembro, tenemos:

${\displaystyle (-1)^{n}f(x)f(-x)=p_{n}^{2}(x^{2}-a_{1}^{2})(x^{2}-a_{2}^{2})...(x^{2}-a_{n}^{2})}$

Reemplazando ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ , la ecuación pedida, de raíces ${\displaystyle a_{1}^{2},a_{2}^{2},...,a_{n}^{2}}$, se puede escribir de la siguiente manera.

${\displaystyle F(x)=f({\sqrt {x}})f(-{\sqrt {x}})}$

Entonces:

${\displaystyle f({\sqrt {x}})=p_{0}+p_{2}x+p_{4}x^{2}+...+{\sqrt {x}}(p_{1}+p_{3}x+p_{5}x^{2}+...),}$

${\displaystyle f(-{\sqrt {x}})=p_{0}+p_{2}x+p_{4}x^{2}+...-{\sqrt {x}}(p_{1}+p_{3}x+p_{5}x^{2}+...),}$

Y luego:

${\displaystyle F(x)=(p_{0}+p_{2}x+p_{4}x^{2}+...)^{2}-x(p_{1}+p_{3}x+p_{5}x^{2}+...)^{2}}$

Si ${\displaystyle x^{i}}$ en coeficiente de ${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle (-1)^{i}[p_{i}^{2}-2p_{i-1}p_{i+1}+2p_{i-2}p_{i+2}-...]}$

Escribiendo la ecuación original

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}=0}$

El coeficiente de ${\displaystyle x^{n-1}}$ esta en la ecuación transformada, cuyas raíces son ${\displaystyle -a_{1}^{2};-a_{2}^{2};...;-a_{n}^{2}}$ y esta expresado por la suma ${\displaystyle a_{i}^{2}-2a_{i-1}a_{i+1}+2a_{i-2}a_{i+2}-...}$ que se continúa mientras los índices no se hacen negativos o mayores a ${\displaystyle n}$ .

• J.V. Uspensky. (2009). Teoría de Ecuaciones. Mexico: Limusa.
• B. Fine, G. Rosenberg. The fundamental theorem of algebra, Springer, 1997