Métrica (matemáticas)

Una métrica sobre un conjunto X es una función (llamada función distancia o simplemente distancia)

${\displaystyle d:X^{2}\to [0,\infty )}$

donde ${\textstyle [0,\infty )}$ es el conjunto de los números reales no-negativos, tal que, para cualesquiera que sean ${\displaystyle x,y,z}$ de ${\displaystyle X}$, se satisfacen las siguientes condiciones:

1. d(x, y) ≥ 0 (no-negativa, o axioma de separación)
2. d(x, y) = 0 si y solo si x = y (axioma de coincidencia)
3. d(x, y) = d(y, x) (simetría)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).^[2]

Las condiciones 1 y 2 juntas definen una función no negativa. La primera condición es una consecuencia de las otras tres.^{[nota 1]}

Una métrica se denomina ultramétrica si satisface una versión más fuerte de la desigualdad triangular, donde los puntos no pueden estar unos en medio de los otros:

d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z))

para cualesquiera que sean x, y, z de X.^{[nota 2]}

Una métrica d sobre X se denomina intrínseca si dos puntos cualesquiera que sean x e y, de X se pueden unir mediante una curva de longitud arbitrariamente próxima a d(x, y).

Para conjuntos donde está definida una suma + : X × X → X, se dirá que d es una métrica invariante por traslaciones sí

d(x, y) = d(x + a, y + a)

para cualquier x, y y a de X.

Estas condiciones expresan algunas nociones intuitivas sobre el concepto de distancia. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos diferentes es positiva; o la distancia desde x hasta y es la misma que la de y hasta x. La desigualdad triangular significa que la distancia de x hasta z pasando por y es al menos tan grande como la distancia para ir de x hasta z directamente. En su obra, Euclides estableció que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta; esta era la desigualdad triangular para su geometría.^[3]

Si se usa una variante de la desigualdad triangular

4*. d(x, z) ≤ d(z, y) + d(y, x)

entonces la propiedad 1 es consecuencia directa de la propiedad 4*. Las propiedades 2 y 4* dan la propiedad 3, que a su vez da la propiedad 4.