Métrica de Weyl-Lewis-Papapetrou

El cuadrado del elemento de línea tiene la forma:^[4]

${\displaystyle g=-e^{2\nu }{\text{d}}t^{2}+\rho ^{2}B^{2}e^{-2\nu }({\text{d}}\phi -\omega {\text{d}}t)^{2}+e^{2(\lambda -\nu )}({\text{d}}\rho ^{2}+{\text{d}}z^{2})}$

donde ${\displaystyle (t,\rho ,\phi ,z)}$ son las coordenadas cilíndricas de Weyl–Lewis–Papapetrou en un espaciotiempo de ${\displaystyle 3+1}$ dimensiones, y ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \omega }$, y ${\displaystyle B}$, son funciones desconocidas únicamente de las coordenadas espaciales no angulares ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle z}$. Diferentes autores definen las funciones de las coordenadas de manera distinta. Otra forma alternativa común de esta métrica es:

${\displaystyle g=-f(\rho ,z)({\text{d}}t-\omega (\rho ,z){\text{d}}\phi )^{2}+f^{-1}(\rho ,z)[\exp(2\gamma (\rho ,z))({\text{d}}\rho ^{2}+{\text{d}}z^{2})+\rho ^{2}{\text{d}}\phi ^{2}]}$

La métrica es una solución de las ecuaciones de Einstein con un tensor repleto de materia pulverulenta, es decir, sin presión p = 0. El tensor gravitacional de Einstein G_ij viene dado por:

${\displaystyle [G_{\mu \nu }]={\begin{bmatrix}G_{tt}&0&G_{t\phi }&0\\0&G_{rr}&0&G_{rz}\\G_{t\phi }&0&G_{\phi \phi }&0\\0&G_{rz}&0&G_{zz}\end{bmatrix}}}$

donde:

${\displaystyle G_{tt}={\frac {1}{4e^{2\gamma }}}\left[-4f(f_{rr}+f_{zz})-3{\frac {f^{4}}{r^{2}}}(\omega _{r}^{2}+\omega _{z}^{2})+5(f_{r}^{2}+f_{z}^{2})-{\frac {4}{r}}ff_{r}+4f^{2}(\gamma _{rr}+\gamma _{zz})\right],}$

${\displaystyle G_{t\phi }=-{\frac {1}{4e^{2\gamma }}}{\Bigg [}\omega {\Big (}5(f_{r}^{2}+f_{z}^{2})-4f(f_{rr}+f_{zz})-{\frac {4}{r}}ff_{r}+4f^{2}(\gamma _{rr}+\gamma _{zz}){\Big )}-2f^{2}(\omega _{rr}+\omega _{zz})+2f\omega _{r}-4f(f_{r}\omega _{r}+f_{z}\omega _{z})-3{\frac {f^{4}}{r^{2}}}(\omega _{r}^{2}+\omega _{z}^{2}){\Bigg ]},}$

${\displaystyle G_{rr}=-{\frac {1}{4}}\,{\frac {f^{4}(\omega _{r}^{2}-\omega _{z}^{2})+4\,\gamma _{r}f^{2}r+r^{2}(f_{z}^{2}-f_{r}^{2})}{r^{2}f^{2}}},}$

${\displaystyle G_{rz}={\frac {1}{2}}{\frac {-2\,\gamma _{z}f^{2}r-f^{4}\omega _{z}\omega _{r}+r^{2}\,f_{z}\,f_{r}}{r^{2}f^{2}}},}$

${\displaystyle 1}$