Mínimos cuadrados generalizados

Un caso especial de GLS, llamado mínimos cuadrados ponderados (WLS), se produce cuando todas las entradas fuera de la diagonal de Ω son 0. Esta situación se presenta cuando las varianzas de los valores observados son diferentes (es decir, la heterocedasticidad está presente), pero donde no existen correlaciones entre las variaciones observadas. El peso de la unidad i es proporcional al recíproco de la varianza de la respuesta de la unidad i.

Factibles mínimos cuadrados generalizados (MCGF) es similar a la de mínimos cuadrados generalizados, excepto que utiliza una matriz de varianza-covarianza estimada donde la matriz verdadera no se conoce directamente.

Los mínimos cuadrados ordinarios (OLS) estimador se calculan como siempre por:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{OLS}=(X'X)^{-1}X'y}$

y se construye el estimador de los residuales ${\displaystyle {\widehat {u}}_{j}=(Y-Xb)_{j}}$.

Construcción ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}_{OLS}}$:

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}_{OLS}=\operatorname {diag} ({\widehat {u}}_{1}^{2},{\widehat {u}}_{2}^{2},\dots ,{\widehat {u}}_{n}^{2}).}$

Estimar ${\displaystyle \beta _{FGLS1}}$ usando ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}_{OLS}}$ al usar mínimos cuadrados ponderador

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FGLS1}=(X'{\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}X)^{-1}X'{\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}y}$

${\displaystyle {\widehat {u}}_{FGLS1}=Y-X{\widehat {\beta }}_{FGLS1}}$

${\displaystyle {\widehat {\Omega }}_{FGLS1}=\operatorname {diag} ({\widehat {u}}_{FGLS1,1}^{2},{\widehat {u}}_{FGLS1,2}^{2},\dots ,{\widehat {u}}_{FGLS1,n}^{2})}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FGLS2}=(X'{\widehat {\Omega }}_{FGLS1}^{-1}X)^{-1}X'{\widehat {\Omega }}_{FGLS1}^{-1}y}$

Esta estimación de ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ puede ser iterada para converger a los supuestos marcados por White.

Los estimadores WLS y MCGF tienen las siguientes distribuciones asintóticas:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{WLS}{\overset {d}{\to }}N(\beta ,(X'\Omega ^{-1}X)^{-1})}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{FGLS}{\overset {d}{\to }}N(\beta ,(X'{\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}X)^{-1}(X'{\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}\Omega {\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}X)(X'{\widehat {\Omega }}_{OLS}^{-1}X)^{-1})}$