N-elipse

En geometría, la n-elipse es una generalización de la elipse que permite más de dos focos.^[1] Las n-elipses se conocen por otros muchos nombres, como elipse multifocal,^[2] polielipse,^[3] ovoelipse,^[4] k-elipse,^[5] y óvalo de Tschirnhaus (en referencia a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus). Fueron investigadas en primer lugar por James Clerk Maxwell en 1846.^[6]

Dados n puntos (u_i, v_i) (llamados focos) en un plano, una n-elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a los n focos es una constante d. En fórmulas, este conjunto tiene la forma

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

La 1-elipse es la circunferencia. La 2-elipse es la elipse clásica. Ambas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número n de focos, la n-elipse es una curva cerrada y convexa.^{[2]: (p. 90)} La curva es suave a menos que atraviese un foco.^[5]: p.7

La n-elipse es en general un subconjunto de puntos que satisfacen una ecuación algebraica^{[5]: Figs. 2 y 4, p. 7} particular. Si n es impar, el grado algebraico de la curva es ${\displaystyle 2^{n}}$, mientras que si n es par el grado es ${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}}$.^{[5]: (Thm. 1.1)}