Numeración desde cero

Origen

Martin Richards, creador del lenguaje BCPL (un precursor de C), diseñó vectores que inician en 0 como la posición natural para comenzar a acceder al contenido del vector en el lenguaje, ya que el valor de un puntero p usado como dirección accede a la posición p + 0 en la memoria.^[5][6] BCPL fue compilado por primera vez para la IBM 7094; el lenguaje no introdujo búsquedas de indirección en tiempo de ejecución, por lo que la optimización de indirección proporcionada por estos vectores se realizaba en tiempo de compilación.^[6] La optimización fue, no obstante, importante.^[6][7]

En 1982, Edsger W. Dijkstra en su nota pertinente «Por qué la numeración debe comenzar en cero»^[8] argumentó que los subíndices de vectores deben comenzar en cero, siendo este último el número más natural. Discutiendo posibles diseños de rangos de vectores al encerrarlos en una desigualdad encadenada, combinando desigualdades estrictas y estándares en cuatro posibilidades, demostrando que, según su convicción, los vectores desde cero se representan mejor con rangos de índices no superpuestos que comienzan en cero, aludiendo a intervalos abiertos, semiabiertos y cerrados como con los números reales. Los criterios de Dijkstra para preferir esta convención son, en detalle, que representa secuencias vacías de una manera más natural (a ≤ i < a ?) que los «intervalos» cerrados (a ≤ i ≤ (a − 1) ?), y que con «intervalos» semiabiertos de naturales, la longitud de una subsecuencia es igual al límite superior menos el límite inferior (a ≤ i < b da (b − a) valores posibles para i, con a, b, i todos enteros).

Uso en lenguajes de programación

Este uso sigue de las decisiones de diseño incrustadas en muchos lenguajes de programación influyentes, incluyendo C, Java y Lisp. En estos tres, los tipos de secuencia (vectores de C, vectores y listas de Java, y listas y vectores de Lisp) se indexan comenzando con el subíndice cero. Particularmente en C, donde los vectores están estrechamente vinculados a la aritmética de punteros, esto hace una implementación más simple: el subíndice se refiere a un desplazamiento desde la posición inicial de un vector, por lo que el primer elemento tiene un desplazamiento de cero.

La referencia a la memoria por una dirección y un desplazamiento se representa directamente en el hardware de computadora en prácticamente todas las arquitecturas de computadoras, por lo que este detalle de diseño en C facilita la compilación, a costa de algunos factores humanos. En este contexto, usar «cero» como ordinal no es estrictamente correcto, pero es un hábito extendido en esta profesión. Algunos lenguajes de programación, como Fortran o COBOL, tienen subíndices de vectores que comienzan con uno, porque fueron diseñados como lenguajes de alto nivel, y como tales debían corresponder a los números ordinales usuales que preceden a la invención del cero por mucho tiempo. Algunos lenguajes de programación, como Ada, ALGOL 60, PL/I, permiten un límite inferior arbitrario para cada índice.

Pascal permite que el rango de un vector sea de cualquier tipo ordinal (incluidos tipos enumerados) y Ada permite cualquier subtipo discreto. APL permite establecer el origen del índice en 0 o 1 durante el tiempo de ejecución de manera programática.^[9][10] Algunos lenguajes recientes, como Lua y Visual Basic, han adoptado la misma convención por la misma razón.

Cero es el valor entero sin signo más bajo, uno de los tipos más fundamentales en programación y diseño de hardware. En ciencias de la computación, el cero se usa a menudo como el caso base para muchos tipos de recursión numérica. Las pruebas y otros tipos de razonamiento matemático en ciencias de la computación a menudo comienzan con cero. Por estas razones, en ciencias de la computación no es inusual numerar desde cero en lugar de uno.

Si un vector se usa para representar un ciclo, es conveniente obtener el índice con una operación módulo, que puede resultar en cero.

Propiedades numéricas

Con la numeración desde cero, un rango puede expresarse como el intervalo semiabierto, [0, n), en contraposición al intervalo cerrado, [1, n]. Los rangos vacíos, que a menudo ocurren en algoritmos, son complicados de expresar con un intervalo cerrado sin recurrir a convenciones obtusas como [1, 0]. Debido a esta propiedad, la indexación desde cero potencialmente reduce los errores por uno y de poste.^[8] Por otro lado, el conteo de repeticiones n se calcula de antemano, lo que hace que el uso del conteo de 0 a n − 1 (inclusivo) sea menos intuitivo. Algunos autores prefieren la indexación desde uno, ya que corresponde más estrechamente a cómo las entidades se indexan en otros contextos.^[11]

Otra propiedad de esta convención es en el uso de la aritmética modular como se implementa en las computadoras modernas. Usualmente, la operación módulo mapea cualquier entero módulo N a uno de los números 0, 1, 2, ..., N − 1, donde N ≥ 1. Debido a esto, muchas fórmulas en algoritmos (como la que calcula índices de tablas hash) pueden expresarse elegantemente en código usando la operación módulo cuando los índices de vectores comienzan en cero.

Las operaciones con punteros también pueden expresarse más elegantemente en un índice desde cero debido a la lógica subyacente de dirección/desplazamiento mencionada anteriormente. Para ilustrar, supongamos que a es la dirección de memoria del primer elemento de un vector, e i es el índice del elemento deseado. Para calcular la dirección del elemento deseado, si los números de índice cuentan desde 1, la dirección deseada se calcula con esta expresión:

${\displaystyle a+s\times (i-1),}$

donde s es el tamaño de cada elemento. En cambio, si los números de índice cuentan desde 0, la expresión se convierte en

${\displaystyle a+s\times i.}$

Esta expresión más simple es más eficiente para calcular en tiempo de ejecución.

Sin embargo, un lenguaje que desee indexar vectores desde 1 podría adoptar la convención de que cada dirección de vector se representa por a′ = a – s; es decir, en lugar de usar la dirección del primer elemento del vector, dicho lenguaje usaría la dirección de un elemento ficticio ubicado inmediatamente antes del primer elemento real. La expresión de indexación para un índice desde 1 sería entonces

${\displaystyle a'+s\times i.}$

Por lo tanto, el beneficio de eficiencia en tiempo de ejecución de la indexación desde cero no es inherente, sino un artefacto de la decisión de representar un vector con la dirección de su primer elemento en lugar de la dirección del elemento ficticio cero. Sin embargo, la dirección de ese elemento ficticio podría muy bien ser la dirección de algún otro elemento en la memoria no relacionado con el vector.

Superficialmente, el elemento ficticio no escala bien a vectores multidimensionales. La indexación de vectores multidimensionales desde cero hace que una conversión (contigua) ingenua a un espacio de direcciones lineal (variando sistemáticamente un índice tras otro) parezca más simple que cuando se indexa desde uno. Por ejemplo, al mapear el vector tridimensional A[P][N][M] a un vector lineal L[M⋅N⋅P], ambos con M ⋅ N ⋅ P elementos, el índice r en el vector lineal para acceder a un elemento específico con L[r] = A[z][y][x] en indexación desde cero, es decir, [0 ≤ x < P], [0 ≤ y < N], [0 ≤ z < M], y [0 ≤ r < M ⋅ N ⋅ P], se calcula por

${\displaystyle r=z\cdot M\cdot N+y\cdot M+x.}$

Organizando todos los vectores con índices desde 1 ([1 ≤ x′ ≤ P], [1 ≤ y′ ≤ N], [1 ≤ z′ ≤ M], [1 ≤ r′ ≤ M ⋅ N ⋅ P]), y asumiendo un vector análogo de los elementos, da

${\displaystyle r'=(z'-1)\cdot M\cdot N+(y'-1)\cdot M+(x'-0)}$

para acceder al mismo elemento, lo que podría parecer más complicado. Por supuesto, r′ = r + 1, ya que [z = z′ – 1], [y = y′ – 1], y [x = x′ – 1]. Un ejemplo simple y cotidiano es la notación posicional, que la invención del cero hizo posible. En la notación posicional, las decenas, centenas, millares y todos los demás dígitos comienzan con cero, solo las unidades comienzan en uno.^[12]

Esta situación puede llevar a cierta confusión en la terminología. En un esquema de indexación desde cero, el primer elemento es el «elemento número cero»; asimismo, el duodécimo elemento es el «elemento número once». Por lo tanto, aparece una analogía entre los números ordinales y la cantidad de objetos numerados; el índice más alto de n objetos será n − 1, y se refiere al n-ésimo elemento. Por esta razón, el primer elemento a veces se denomina el elemento cero, en un intento de evitar la confusión.