Núcleo de Bergman

Sea L²(D) el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable sobre D, y sea L^2,h(D) el subespacio de funciones que también son holomorfas sobre D: es decir,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

donde H(D) es el espacio de funciones holomorfas sobre D. Entonces L^2,h(D) es un espacio de Hilbert, es decir, es un subespacio vectorial cerrado de L²(D), y por tanto completo por sí mismo. Esto se sigue de la etimación fundamental para una función de cuadrado integrable en D:

(1)${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$

para cada subconjunto compacto K de D. por tanto la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L²(D) implica también la convergencia compacta, y por tanto el límite también es una función holomorfa. Otra consecuencia de (1) es que, para cada z ∈ D, la evaluación

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

es un funcional continuo sobre L^2,h(D). Por teorema de representación de Riesz, este funcional puede representarse como el producto interno de un elemento de L^2,h(D), es decir,

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

El núcleo de Bergman kernel K se define entonces como:

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

El núcleo K(z,ζ) es holomorfo en z y antiholomorfo in ζ, y además satisface que

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

• Métrica de Bergman
• Espacio de Bergman
• Núcleo de Szegő

• Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6 ..
• Chirka, E.M. (2001), «Núcleo de Bergman», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 ..