Número de Aquiles

Un número n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k es poderoso si min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Si además el mcd de (a₁, a₂, …, a_k) = 1, entonces el número es un número de Aquiles.

Los números de Aquiles hasta el 5000 son:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (sucesión A052486 en OEIS).

El par más pequeño de números de Aquiles consecutivos es:^[3]

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

108 es un número poderoso. Su factorización es 2² · 3³, por lo que sus factores primos son 2 y 3. Tanto 2² = 4 como 3² = 9 son divisores de 108. Sin embargo, 108 no se puede representar como m^k, donde m y k son números enteros positivos mayores que 1, luego 108 es un número de Aquiles.

360 no es un número de Aquiles porque no es poderoso. Uno de sus factores primos es 5 pero 360 no es divisible por 5² = 25.

Finalmente, 784 no es un número de Aquiles. Es un número poderoso, porque no solo 2 y 7 son sus únicos factores primos, sino que también 2² = 4 y 7² = 49 son sus divisores. Sin embargo, es una potencia perfecta:

${\displaystyle 784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,}$

En consecuencia, no es un número de Aquiles.

500 = 2² × 5³ es un número de Aquiles fuerte, ya que su indicatriz de Euler de 200 = 2³ × 5² también es un número de Aquiles.