Número odioso

Los primeros números odiosos son:

1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38 ...^[1]

Si ${\displaystyle a(n)}$ denota el número odioso ${\displaystyle n}$th (con ${\displaystyle a(0)=1}$), entonces para todos los ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a(a(n))=2a(n)}$.^[2]

Todo entero positivo ${\displaystyle n}$ tiene un múltiplo odioso que es como mucho ${\displaystyle n(n+4)}$. Los números para los que este límite es estricto son exactamente los primos de Mersenne con exponentes pares, los números de la forma ${\displaystyle n=2^{2r}-1}$, como 3, 15, 63, etc. Para estos números, el múltiplo odioso más pequeño es exactamente ${\displaystyle n(n+4)=2^{4r}+2^{2r+1}-3}$.^[3]