Onda simple

Sea ${\displaystyle \rho }$ la densidad del gas, ${\displaystyle u}$ la velocidad, ${\displaystyle p}$ la presión y ${\displaystyle c={\sqrt {(\partial p/\partial \rho )_{s}}}}$ la velocidad del sonido. En flujos isentrópicos, la entropía ${\displaystyle s}$ es constante y, si el estado inicial del gas es homogéneo, la entropía es constante en todo momento y en todo lugar, por lo que la presión es una función solo de ${\displaystyle \rho }$, es decir, ${\displaystyle p=p(\rho )}$. En ondas simples, todas las variables dependientes son solo funciones de cualquiera de las variables dependientes (esto es ciertamente el caso en las ondas sonoras unidimensionales) y, por lo tanto, podemos suponer que la velocidad también es una función solo de ${\displaystyle \rho }$. Es decir, ${\displaystyle u=u(\rho ).}$ Esta última propiedad es la causa del origen del nombre onda simple, aunque la onda no es lineal.

A partir de las ecuaciones unidimensionales de Euler (dinámica de fluidos), tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=0}$

que, debido a que ${\displaystyle u=u(\rho )}$, se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {d(\rho u)}{d\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(u+{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{du}}\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

Además, dado que (recuerde que la derivada temporal de una función ${\displaystyle f(x,t)}$ integrada a lo largo de una curva ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ viene dada por ${\displaystyle (df/dt)_{\varphi }=\partial f/\partial t+(dx/dt)_{\varphi }\partial f/\partial x}$)

${\displaystyle {\frac {\partial \rho /\partial t}{\partial \rho /\partial x}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\rho },\quad {\frac {\partial u/\partial t}{\partial u/\partial x}}=-\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u},}$

Las dos ecuaciones conducen a

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\rho }={\frac {d(\rho u)}{d\rho }}=u+\rho {\frac {du}{d\rho }},\quad \left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u}=u+{\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{du}}.}$

Sin embargo, dado que ${\displaystyle \rho }$ determina ${\displaystyle u}$ y, por lo tanto, las derivadas anteriores deben ser iguales para que ${\displaystyle \rho du/d\rho =(1/\rho )dp/du=(c^{2}/\rho )d\rho /du}$. Así, obtenemos ${\displaystyle du/d\rho =\pm c/\rho }$, de donde

${\displaystyle u=\pm \int {\frac {c}{\rho }}d\rho =\pm \int {\frac {dp}{\rho c}}.}$

Esta ecuación proporciona la relación requerida ${\displaystyle u=u(\rho )}$ o, ${\displaystyle c=c(u)}$ o, ${\displaystyle u=u(p)}$ etc. La ecuación anterior es solo una afirmación de que el ${\displaystyle J_{+}}$ o el ${\displaystyle J_{-}}$ invariante de Riemann es constante.

Así, se obtiene

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{u}=u\pm c(u)}$,

que al integrarse se convierte en

${\displaystyle x=t[u\pm c(u)]+f(u)}$

donde ${\displaystyle f(u)}$ es una función arbitraria. Esta ecuación indica que las características en el plano ${\displaystyle x}$-${\displaystyle t}$ son simplemente líneas rectas. Cuando ${\displaystyle f(u)=0}$ y, en consecuencia, desaparecen la escala de longitud y la escala de tiempo asociadas a la función inicial, el problema es autosimilar y la solución depende únicamente de la relación ${\displaystyle x/t}$. Este caso particular se denomina «onda simple centrada».

De forma similar a las ondas unidimensionales inestables, se pueden derivar ondas simples en un sistema bidimensional estable. En este caso, la solución viene dada por

${\displaystyle y=xf_{1}(p)+f_{2}(p)}$

donde ${\displaystyle f_{1}(p)=(\partial y/\partial x)_{p}}$ y ${\displaystyle f_{2}(p)}$ es una función arbitraria de la presión. Las características en el plano ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ son líneas rectas. De manera similar, el caso correspondiente a ${\displaystyle f_{2}(p)=0}$ se denomina «onda simple centrada»; el abanico de expansión de Prandtl-Meyer es un caso especial de esta onda centrada.