Ondas gravitacionales de Rossby

La velocidad de propagación hacia el este de estas ondas se puede derivar para una capa de fluido invisible de movimiento lento y profundidad uniforme H.^[2] Porque el parámetro de Coriolis (f = 2Ω sin(θ) donde Ω es la velocidad angular de la tierra, 7.2921 × 10⁻⁵ rad/s, y θ es la latitud) desaparece a 0 grados de latitud (ecuador), hay que hacer la aproximación del "plano beta ecuatorial". Esta aproximación establece que f es aproximadamente igual a βy', donde y es la distancia al ecuador y β es la variación del parámetro de Coriolis con la latitud,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=\beta }$.^[3] Con la inclusión de esta aproximación, las ecuaciones primitivas se convierten (despreciando el rozamiento):

• la ecuación de continuidad (que tiene en cuenta los efectos de la convergencia y la divergencia horizontales y se escribe con la altura geopotencial):

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c^{2}\left({\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)=0}$

• la ecuación del momento U (componente zonal del viento):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-v\beta y=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

• la ecuación del momento V (componente meridional del viento):

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u\beta y=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}}$.^[2]

Estas tres ecuaciones pueden separarse y resolverse utilizando soluciones en forma de ondas de propagación zonal, que son análogas a las soluciones exponenciales con una dependencia de x y t y la inclusión de funciones de estructura que varían en la dirección y:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}}(y),{\hat {v}}(y),{\hat {\phi }}(y)\end{Bmatrix}}e^{i(kx-\omega t)}}$.^[2]

Una vez formulada la relación de frecuencia en términos de ω, la frecuencia angular, el problema puede resolverse con tres soluciones distintas. Estas tres soluciones corresponden a la onda de gravedad ecuatorialmente atrapada, la onda de Rossby ecuatorialmente atrapada y la onda mixta Rossby-gravedad (que tiene algunas de las características de las dos anteriores) .^[3] Las ondas de gravedad ecuatoriales pueden propagarse hacia el oeste o hacia el este, y corresponden a n=1 (igual que para la onda de Rossby ecuatorialmente atrapada) en un diagrama de relación de dispersión (diagrama "w-k"). En n= 0 en un diagrama de relación de dispersión, se pueden encontrar las ondas mixtas Rossby-gravedad donde para números de onda zonales grandes y positivos (+k), la solución se comporta como una onda de gravedad; pero para números de onda zonales grandes y negativos (−k), la solución parece ser una onda Rossby (de ahí el término ondas Rossby-gravedad).^[1] Como se mencionó anteriormente, la velocidad de grupo (o paquete de energía/dispersión) siempre se dirige hacia el este con un máximo para las ondas cortas (ondas de gravedad).^[1]