Operador de Hutchinson

Dejando a ${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}}$ ser un sistema iterativo de funciones, o un conjunto de contracciones de un espacio compacto ${\displaystyle X}$ hacia sí mismo. El operador ${\displaystyle H}$ es definido sobre subconjuntos ${\displaystyle S\subset X}$ como

${\displaystyle H(S)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).\,}$

Una pregunta clave es el describir los atractores ${\displaystyle A=H(A)}$ de este operador, los cuales son espacios compactos. Una forma de generar tal espacio es el empezar con un espacio compacto inicial ${\displaystyle S_{0}\subset X}$ (el cual puede ser un punto singular, llamado semilla) e iterar ${\displaystyle H}$ de la siguiente manera

${\displaystyle S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})}$

y tomando el límite, la iteración converge hacia el atractor

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.}$

Hutchinson demostró en 1981 la existencia de la unicidad del atractor ${\displaystyle A}$. La prueba consiste en mostrar que el operador de Hutchinson es contractivo en el conjunto de subconjuntos compactos de ${\displaystyle X}$ en la distancia de Hausdorff.

El conjunto de las funciones ${\displaystyle f_{i}}$ con composición forman un monoide. Con funciones N, entonces uno puede visualizar el monoide como un árbol k-ario completo o una celosía de Bethe.