Paradoja de Hooper

Tras una inspección minuciosa, uno puede notar que los triángulos de la forma diseccionada no son idénticos a los triángulos en el rectángulo. La longitud del lado más corto en el ángulo recto mide 2 unidades en la forma original pero solo 1.8 unidades en el rectángulo. Esto significa que los triángulos reales de la forma original se superponen en el rectángulo. El área superpuesta es un paralelogramo, cuyas diagonales y lados se pueden calcular mediante el teorema de Pitágoras.

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {3^{2}+10^{2}}}={\sqrt {109}}}$

${\displaystyle s_{1}={\sqrt {2^{2}+6^{2}}}={\sqrt {40}}}$

${\displaystyle s_{2}={\sqrt {1^{2}+4^{2}}}={\sqrt {17}}}$

El área de este paralelogramo se puede determinar usando la fórmula de Herón para triángulos. Esto produce:

${\displaystyle s={\frac {d_{1}+s_{1}+s_{2}}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}}}{2}}}$

para la mitad de la circunferencia del triángulo (la mitad del paralelogramo) y con eso para el área del paralelogramo

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-s_{1})\cdot (s-s_{2})\cdot (s-d_{1})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot (-{\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}-{\sqrt {17}}+{\sqrt {40}})\cdot ({\sqrt {5}}+{\sqrt {17}}-{\sqrt {40}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {16}}\\[5pt]&=2\end{aligned}}}$.

Entonces, el área superpuesta de los dos triángulos representa exactamente el área desaparecida de 2 unidades.