Paradoja del liberal paretiano

Sigue una proposición formal pero simplificada del teorema.^[2]

Supongamos que hay un conjunto de posibles resultados sociales ${\displaystyle X}$ con al menos dos alternativas y un grupo de al menos dos personas cada uno con preferencias ${\displaystyle \succsim _{i}}$ al respecto (o sobre ${\displaystyle X}$).

Un planificador social "benigno" tiene que elegir un solo resultado de ese conjunto ${\displaystyle X}$, utilizando para ello la información sobre las preferencias de los individuos. El planificador utiliza una función de elección social( o sistema de votación). Para cada posible conjunto de preferencias de cada individuo, una función de la elección social selecciona una opción particular que pertenece al conjunto mencionado: ${\displaystyle x\in X}$.

Hay dos propiedades deseables que se podrían pedir o demandar de la función de selección social:

1: Una función de elección social respeta el "principio de Pareto" (también llamado óptimo de Pareto) si no selecciona a un resultado cuando hay una alternativa que todo el mundo prefiere. Así que si hay dos opciones, ${\displaystyle (x,y)}$ tales que ${\displaystyle y\succ x}$ para cada individuo, el sistema no permite que se elija ${\displaystyle x}$.

2: Una función de elección social respeta el principio de "liberalismo mínimo" si hay personas cuyas preferencias pueden vetar algunos de los resultados conjuntos. (es decir, nadie puede ser obligado a "escoger" o hacer lo que no desea)

En otras palabras, si hay un individuo ${\displaystyle i}$ y un par de alternativas ${\displaystyle a,b}$ tal que ${\displaystyle i}$ estrictamente prefiere ${\displaystyle a}$ sobre ${\displaystyle b}$, entonces la función de elección social no puede elegir ${\displaystyle b}$ (y viceversa).

Del mismo modo si hay otra persona llamada ${\displaystyle j}$ cuyas preferencias pueden vetar una decisión sobre un par (posiblemente diferente) de alternativas ${\displaystyle c,d}$. Si ${\displaystyle c\succ d}$ entonces la función de selección social no puede seleccionar ${\displaystyle d}$.

El Teorema de Sen establece que es imposible que el planificador social pueda satisfacer la condición 1 y la condición 2. En otras palabras, para cada función de la elección social hay por lo menos un conjunto de preferencias que fuerza al planificador a violar ya sea la condición (1) o condición (2).

El siguiente ejemplo simplistico, con dos individuos y tres alternativas fue presentada por Sen mismo^[1]

Hay una copia de un libro determinado, por ejemplo El amante de Lady Chatterley, que es considerado de manera diferente por los individuos 1 y 2 (famosamente, la publicación del libro caso un gran escándalo en Inglaterra). Las tres alternativas son: que individuo 1 lo lee (${\displaystyle x}$). Que el individuo 2 lo lee (${\displaystyle y}$) y que ninguno lo lee (${\displaystyle z}$). Persona 1, que es un mojigato, prefiere que nadie lo lea, pero si tuviera que elegir entre cualquiera de la otras dos, preferiría leerlo sí mismo en lugar de exponer al crédulo Sr 2 a las influencias de Lawrence. (mojigatos, me han dicho, tienden a preferir la censura. que ser censurados). En orden decreciente de preferencia entonces su ordenamiento es ${\displaystyle z,x,y}$. La persona 2, sin embargo, prefiere que cualquiera de ellos dos lo lea a que ninguno lo haga. Aún más, el se deleita con la idea de que el mojigato Sr 1 pudiera leer Lawrence y, consecuentemente, su primera preferencia es que esa persona debiera leer la obra. Su segunda mejor opción que él mismo puede leerla, y la peor que nadie lee. Su orden de preferencias es, entonces, ${\displaystyle x,y,z}$.

Supongamos que le damos a cada individuo el derecho a decidir si quieren o no quieren leer el libro. Entonces es imposible encontrar una función de elección social sin violar ya sea el principio de "mínimo liberalismo" o el de Pareto. El mínimo de liberalismo requiere que el Sr 1 no sea forzado a leer el libro, así que no podemos elegir ${\displaystyle x}$, pero también requiere que esa lectura no le sea prohibida al Sr 2, así que no podemos elegir la opción ${\displaystyle z}$. Pero tampoco podemos elegir la opción ${\displaystyle y}$ porque viola el criterio de Pareto: tanto el Sr 1 como el Sr 2 están de acuerdo que ellos preferirían que el Sr 1 leyera (opción ${\displaystyle x}$) a que solo lo haga el Sr 2 (opción ${\displaystyle y}$).

Como hemos descartado las posibles soluciones, debemos concluir que es imposible encontrar una función de selección social que satisfaga los criterios enunciados.

Supongamos que Alice y Bob tienen que decidir si van al cine a ver una 'Película romántica', y que cada uno tiene la libertad para decidir si van. Si las preferencias personales se basan para Alice, primero, en querer estar con Bob y, segundo, pensando que es una buena película, ir; mientras que para Bob son, primero, preferencia que Alice la vea, pero, segundo, pensando que no es una buena película, no querer ir él mismo, entonces las órdenes de las preferencias individuales podrían ser:

• Alicia prefiere: ambos van> ninguno va> Alice va> Bob va
• Bob prefiere: Alice va > ambos van > ninguno va > Bob va

Como se puede observar, individualmente hay dos soluciones que son "Pareto eficiente": Alice va sola o van los dos.

Considérese ahora las "preferencias conjuntas" Es evidente que Bob no ira por su cuenta, pero si lo hiciera, Alicia lo seguiría. Consecuentemente, la preferencia conjunta tendría "ambos van" preferida a "Bob va" (ambos van> Bob va). sin embargo, Alice tiene libertad personal y prefiere estar con Bob consecuentemente, "ninguno va" es preferido a "Alice va" (ninguno va> Alice va (sola)). Sin embargo, Bob también tiene libertad personal, así que la preferencia conjunta debe tener "Alice va" preferida a "ambos van" y "ninguno va" a "Bob va". Tomando en cuenta todo eso da el resultado para las "preferencias conjuntas" "ninguno va" > Alice va > Ambos van > Bob va.

Especialmente de nota: "Ninguno va" es preferido a cualquier otro, con el resultado final que nadie va, lo que es contrario al resultado óptimo para cada uno (dado que cada uno independientemente prefiere "ambos van" a "ninguno va").

El siguiente diagrama ilustra la situación. Los números representan el ordenamiento en las preferencias personales de Alice y Bob, relevantes para "calcular" la eficiencia de Pareto (así, tanto 4,3 o 2,4 es mejor que 1,1 y el 4,3 es mejor que 3,2, haciendo 4,3 (ambos van) y 2,4 (Alice va) las dos soluciones mejores, con una "utilidad" total de 7 y 6 respectivamente, que son mejor que el 5 y 2 de las alternativas). Las flechas representan transiciones sugeridas por las preferencias individuales, sobre las que cada uno tiene libertad de decidir. Es evidente que conducen a la solución de ninguno va