Pentación

La palabra «pentación» fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 de las raíces penta- (cinco) e iteración. Es parte de su esquema general para nombrar a las hiperoperaciones.^[2]

No existe un consenso general para la notación de la pentación; por lo tanto existen varias maneras de escribir la operación. Sin embargo, unas se usan más que otras y existen distintas ventajas entre una y otra forma de uso.

• La pentación se puede escribir como una hiperoperación como ${\displaystyle a[5]b}$. En este formato, ${\displaystyle a[3]b}$ puede ser interpretado como el resultado de aplicar repetidamente la función ${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$, por ${\displaystyle b}$ repeticiones, comenzando con el número 1. De forma análoga, ${\displaystyle a[4]b}$, la tetración, representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función ${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$, por ${\displaystyle b}$ repeticiones, comenzando con el número 1, y la pentación ${\displaystyle a[5]b}$ representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función ${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$, por ${\displaystyle b}$ repeticiones, comenzando con el número 1.^[3] Esta será la notación usada en el resto del artículo
• En la notación flecha de Knuth, ${\displaystyle a[5]b}$ se representa como ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ o ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$. En esta notación, ${\displaystyle a\uparrow b}$ representa a la función de potenciación ${\displaystyle a^{b}}$ y ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ representa a la tetración. La operación puede adaptar fácilmente la hexación añadiendo otra flecha.
• En la notación de cadena de Conway, ${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$.^[4]
• Otra notación propuesta es ${\displaystyle {_{b}a}}$, aunque esta no es extensible a hiperoperaciones de mayor orden.^[5]

Los valores de la función de pentación también pueden ser obtenidos de los valores en la cuarta fila de valores en una variante de la función de Ackermann: si ${\displaystyle A(n,m)}$ se define como la recurrencia de Ackermann ${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ con las condiciones iniciales ${\displaystyle A(1,n)=an}$ y ${\displaystyle A(m,1)=a}$, entonces ${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$.^[6]

Como la tetración, su operación base, no ha sido extendida a alturas no-enteras, la pentación ${\displaystyle a[5]b}$ actualmente sólo está defnida para valores enteros de a y b donde ${\displaystyle a>0}$ y ${\displaystyle b\geq -1}$, y unos pocos valores enteros adicionales que podrían estar únicamente definidos. Como todas las hiperoperaciones de orden 3 y mayor, la pentación tiene los siguientes casos triviales (identidades) que son verdaderos para todos los valores de a y b en su dominio:

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$
• ${\displaystyle a[5]1=a}$

Adicionalmente, se puede definir:

• ${\displaystyle a[5]0=1}$
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$

Además de los casos triviales arriba expuestos, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente tal que sólo hay unos pocos casos no-triviales que producen números que pueden ser escritos en notación convencional, como se muestra a continuación:

• ${\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}$
• ${\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}$
• ${\displaystyle 2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (una torre de exponentes de 65,536 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}$ (se muestra aquí en notación de exponentes iterados ya que es demasiado grande para ser escrito en notación convencional. Nótese que ${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$)
• ${\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$
• ${\displaystyle 3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (una torre de exponentes de 7,625,597,484,987 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}$ (un número con más de ${\displaystyle 10^{153}}$ dígitos)
• ${\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}$ (un número con más de ${\displaystyle 10^{10^{2184}}}$ dígitos)

• Función de Ackermann
• Operadores de Bowers
• Número de Graham