Plano de Dehn

Para construir sus geometrías, Dehn utilizó un cuerpo pitagórico ordenado no arquimediano Ω(t), el cierre pitagórico del cuerpo de funciones racionales R(t), formado por el cuerpo más pequeño de funciones racionales con valores en la recta real que contiene las constantes reales, la función identidad t (que aplica cualquier número real a sí mismo) y cerrada bajo la operación ${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$) se ordena indicando que (x > y) si la función x es mayor que y para números reales suficientemente grandes. Un elemento x de Ω(t) se llama finito si m < x < n para algunos números enteros m y n; y en caso contrario se llama infinito.

El conjunto de todos los pares (x, y), donde x e y son elementos cualesquiera (que pueden ser infinito) del cuerpo Ω(t), y con la métrica habitual:

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

que toma valores en Ω(t), da un modelo de geometría euclídea. El postulado de las paralelas es cierto en este modelo, pero si la desviación de la perpendicular es infinitesimal (es decir, menor que cualquier número racional positivo), las líneas que se cruzan lo hacen en un punto que no está en la parte finita del plano. Por lo tanto, si el modelo se restringe a la parte finita del plano (puntos (x,y) con x e y finitos), se obtiene una geometría en la que el postulado de las paralelas falla, pero la suma de los ángulos de un triángulo es Π. Esta es la geometría semieuclídea de Dehn. Se analiza en Rucker (1982, pp. 91–2).