Plimpton 322

El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica. La cuarta columna es sólo un número de fila, ordenada del 1 al 15. Las segunda y tercera columnas son completamente visible en la tableta sobreviviente. Sin embargo, el borde de la primera columna se ha roto, y existen dos extrapolaciones consistentes que dan los dígitos faltantes que podrían haber sido; estas interpretaciones difieren solo en si cada número comienza con un dígito adicional igual a 1 o no. Con las diferentes extrapolaciones mostradas en paréntesis, estos números son:

Es posible que las columnas adicionales estuvieran presentes en la parte rota de la tableta a la izquierda de estas columnas. La conversión de estos números de sexagesimal a decimal plantea ambigüedades adicionales, debido a que la notación sexagesimal babilónica no especifica el orden de magnitud del dígito inicial de cada número.

En cada fila, el número en la segunda columna puede ser interpretado como el lado más corto ${\displaystyle \scriptstyle s}$ de un triángulo rectángulo, y el número en la tercera columna puede ser interpretado como la hipotenusa ${\displaystyle \scriptstyle d}$ del triángulo. El número en la primera columna puede ser la fracción ${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {s^{2}}{l^{2}}}}$ o ${\displaystyle \scriptstyle {\tfrac {d^{2}}{l^{2}}}}$, como ${\displaystyle \scriptstyle l}$ denota el lado más largo del mismo triángulo rectángulo. Los académicos aún difieren, sin embargo, en cómo fueron generados estos números.

Otto E. Neugebauer (1957) aboga por una interpretación de teoría de números, señalando que esta tableta provee una lista de (pares de números que conforman) ternas pitagóricas. Por ejemplo, la línea 11 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto de 3/4 y la hipotenusa 5/4, que forma el lado: relación hipotenusa de la familiar (3,4,5) del triángulo rectángulo. Si p y q son dos números primos, entonces ${\displaystyle \scriptstyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$ forma una terna pitagórica, y todas las ternas pitagóricas se pueden formar de esta manera o como múltiplos de una terna formada de esta manera. Por ejemplo, la línea 11 puede ser generada por esta fórmula con p = 1 y q = 1/2. Como sostiene Neugebauer, cada línea de la tabla puede ser generada por un par (p, q) que son a la vez números regulares, divisores enteros de una potencia de 60. Esta propiedad de p y q de ser conductores regulares a un denominador que es regular, y por lo tanto a una representación sexagesimal finita para la fracción de la primera columna. La explicación de Neugebauer es la seguida por ejemplo por Conway & Guy (1996). Sin embargo, como Eleanor Robson (2002) señala, la teoría de Neugebauer no explica cómo se eligieron los valores de p y q: hay 92 pares de números primos entre sí regulares hasta el 60, y solo 15 entradas en la tabla. Además, no explica por qué las entradas de la tabla están en el orden en que aparecen, ni lo que los números de la primera columna representan.

Buck (1980) discutió una posible explicación trigonométrica:^[8] los valores de la primera columna se pueden interpretar como el cuadrado del coseno o tangente (según el dígito faltante) del ángulo opuesto al lado corto del triángulo rectángulo descrito por cada fila, y las filas se ordenan por estos ángulos en incrementos de aproximadamente un grado. Sin embargo, Robson sostiene por motivos lingüísticos que esta teoría es "conceptualmente anacrónica": depende de muchas otras ideas que no están presentes en el registro de la matemática babilónica de aquella época.

Sin embargo, en 2017, los matemáticos australianos Daniel Mansfield y Norman Wilderberg han corregido dicha interpretación: dicha tabla describe las formas del triángulo rectángulo usando una novedosa forma de trigonometría que se funda en la razón entre los números (que expresan las longitudes de los lados), denotando tal labor una gran genialidad.^[9]