Polilla (fractal)
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La polilla es un triángulo equilátero fractal cuyos lados están sustituidos por la curva de lepidopter, una variante de la curva de Koch. Tiene propiedades similares a las del siamés, un rombo fractal basado en la curva de Koch, y por lo tanto puede dividirse en infinitas copias de sí mismo. Esta figura fue descubierta por Giorgio Pietrocola en marzo de 2024 y publicada en varias revistas matemáticas italianas. [1][2]
Programa FMSLogo
El algoritmo para crear la curva de los lepidópteros es similar al de la curva de Koch. Para resaltarlo, se utiliza un algoritmo que converge más lentamente que el que se utiliza normalmente para la curva de Koch. Para ambas curvas , se parte de un segmento y se sustituye por dos segmentos angulados que, juntos, formarían un triángulo isósceles con ángulos de 30, 120 y 30 grados. Se continúa realizando la misma transformación a los segmentos que crecen así, en cada nivel, como las potencias de dos. Para la curva de Koch, en cada nivel se cambia en todos los segmentos la parte de la sustitución, una vez a la derecha y la siguiente a la izquierda. Para la curva de los lepidópteros, en cambio, en cada nivel se alterna la construcción a la derecha y a la izquierda. Sin embargo, al cambiar de nivel, se cambia cada vez el inicio. Si el anterior comenzaba con una construcción a la derecha, se inicia la alternancia con una construcción a la izquierda. Sigue en la figura las dos transformaciones diferentes. En las dos últimas casillas de cada fila, la curva obtenida se repite por las dos partes de las dos formas posibles, obteniendo en el primer caso una columna de siameses y en el segundo una columna de polillas.
to falena :lato :liv rt 180 make "nstop int (0.5+(power 2 :liv-1)*4/3)+2 make "mem pos make "hh heading ht pu fd :lato/2 bk :lato/2 pd make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 1 pu setpos :mem seth :hh pd make "conta 0 make "mem pos make "hh heading falenarico :lato*3 :liv 1 -1 pu setpos :mem seth :hh pd st rt 180 end
to falenarico :x :l :s :t localmake "x :x/sqrt 3 if :l=0 [make "conta :conta+1 if :conta>=:nstop [ stop] forward :x stop ] lt 30*:s*:t falenarico :x :l-1 -1 -:t rt 60*:s*:t falenarico :x :l-1 1 -:t lt 30*:s*:t end
El procedimiento «falenarico» se utiliza en el procedimiento «falena». Después de copiarlos y guardarlos en el editor de FMSLogo, puede introducir «falena 200 10» en la línea de comandos para obtener una polilla del tamaño y nivel de iteración especificados. En el artículo en línea se encuentran disponibles procedimientos adicionales, como «falenarep», para obtener una polilla replicante como la que se muestra en la figura.[2]
Comparación entre polilla y siamés
Mientras que el siamés y el anti-siamés se obtienen sustituyendo los lados de un rombo por curvas de Koch, la polilla se obtiene sustituyendo los lados de un triángulo equilátero por curvas lepidópteras orientadas hacia el exterior. Si están orientadas hacia el interior, se crea una anti-polilla (véase la figura). Los perímetros de estos polígonos fractales son todos infinitos. Mientras que el área del siamés aumenta en un 40 % con respecto a su rombo de referencia, la polilla aumenta en un 75 % con respecto a su triángulo. Las antifiguras disminuyen en la misma proporción. [1]. Tanto el siamés como la polilla, junto con sus antítesis, se descomponen en infinitas copias similares.
Teselación del plano con figuras fractales similares
Teselación del plano con polillas
Teselación del plano con siameses
