Polígono de Reinhardt

Un polígono de Reuleaux es una forma convexa con lados de arco circular, cada uno centrado en un vértice de la forma y todos tienen el mismo radio; un ejemplo es el triángulo de Reuleaux. Estas formas son curvas de ancho constante. Algunos polígonos de Reuleaux tienen longitudes de lados que son múltiplos irracionales entre sí, pero si un polígono de Reuleaux tiene lados que se pueden dividir en un sistema de arcos de igual longitud, entonces el polígono formado como envolvente convexa de los extremos de estos arcos es un polígono de Reinhardt. Necesariamente, los vértices del polígono de Reuleaux subyacente también son puntos finales de arcos y vértices del polígono de Reinhardt, pero el polígono de Reinhardt también puede tener vértices adicionales, dentro de los lados del polígono de Reuleaux.^[3]

Si ${\displaystyle n}$ es un potencia de dos, entonces no es posible formar un polígono de Reinhardt con ${\displaystyle n}$ lados. Si ${\displaystyle n}$ es un número impar, entonces el polígono regular con ${\displaystyle n}$ lados es un polígono de Reinhardt. Cualquier otro número natural debe tener un divisor ${\displaystyle d}$ impar, y se puede formar un polígono de Reinhardt con ${\displaystyle n}$ lados subdividiendo cada arco de un polígono de Reuleaux regular con ${\displaystyle d}$ lados, en ${\displaystyle n/d}$ arcos más pequeños. Cuando ${\displaystyle n}$ es un número primo o el doble de un número primo, entonces solo existe una forma de polígono de Reinhardt de ${\displaystyle n}$ lados, pero todos los demás valores de ${\displaystyle n}$ tienen polígonos de Reinhardt con múltiples formas.^[1]

Los pares de diámetros de un polígono de Reinhardt forman muchos triángulos isósceles con los lados del polígono, con un ángulo de vértice ${\displaystyle \pi /n}$, a partir del cual se pueden calcular las dimensiones del polígono. Si la longitud del lado de un polígono de Reinhardt es 1, entonces su perímetro es solo ${\displaystyle n}$. El diámetro del polígono (la distancia más larga entre dos de sus puntos) es igual a la longitud del lado de estos triángulos isósceles, ${\displaystyle 1/2\sin(\pi /2n)}$. Las curvas de ancho constante del polígono (la distancia más corta entre dos rectas de soporte paralelas) es igual a la altura de este triángulo, ${\displaystyle 1/2\tan(\pi /2n)}$. Estos polígonos son óptimos de tres formas:

• Tienen el perímetro más grande posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su diámetro, y el diámetro más pequeño posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su perímetro.^[1]
• Tienen el mayor ancho posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su diámetro, y el diámetro más pequeño posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su ancho.^[1]
• Tienen el mayor ancho posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su perímetro, y el perímetro más pequeño posible entre todos los polígonos de ${\displaystyle n}$ lados con su ancho.^[1]

La relación entre perímetro y diámetro para estos polígonos fue probada por Reinhardt,^[4] y redescubierta de forma independiente varias veces.^[5][6] La relación entre diámetro y ancho fue probada por Bezdek y Fodor en 2000; su trabajo también investiga los polígonos óptimos para este problema cuando el número de lados es una potencia de dos (para los cuales los polígonos de Reinhardt no existen).^[7]