Principio de Harnack

Dado es una cantidad abierta ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ y un resultado ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ funciones armónicas ${\displaystyle {u_{n}}\colon \,D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} )}$, que crece monótonamente punto por punto:

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq ...}$   ${\displaystyle (z\in D)}$

Ser para ${\displaystyle z\in D}$

${\displaystyle u(z)=\sup _{n\in \mathbb {N} }{u_{n}(z)}=\lim _{n\to \infty }{u_{n}(z)}}$  

Adelante

${\displaystyle D_{0}=\{z\in D\colon \,u(z)<\infty \}}$  

y

${\displaystyle D_{1}=\{z\in D\colon \,u(z)=\infty \}}$  

Entonces:

(1) Ambos ${\displaystyle u}$   también ${\displaystyle D_{1}}$ están abiertos y bloqueados en ${\displaystyle D}$  .

(2) En caso de que ${\displaystyle D}$ un área de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es, es o es siempre ${\displaystyle u(z)=\infty }$ para ${\displaystyle z\in D}$, o siempre ${\displaystyle u(z)<\infty }$ para ${\displaystyle z\in D}$. ,

(3) Es ${\displaystyle D}$ un área de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y aplica ${\displaystyle u(z_{0})<\infty }$ para uno ${\displaystyle z_{0}\in D}$, la secuencia de funciones es localmente uniformemente convergente y la función límite ${\displaystyle u}$   es también una función armónica.

Como el propio Axel Harnack sugiere,^[5] el principio correspondiente con una formulación muy similar también se aplica al caso de las funciones armónicas en conjuntos abiertos de la ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ , Aquí la prueba se basa en la versión n-dimensional de la desigualdad de Harnack.^[6][7]