Problema de Riemann

A modo de ejemplo sencillo, analizamos las propiedades del problema de Riemann unidimensional en dinámica de gases (Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, pág. 44, ejemplo 2.5)

Las condiciones iniciales vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x\leq 0\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x>0}$

donde «x» = 0 separa dos estados diferentes, junto con las ecuaciones lineales de la dinámica de gases (véase dinámica de gases para la derivación).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

donde podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ${\displaystyle a\geq 0}$. Ahora podemos reescribir las ecuaciones anteriores en forma conservativa:

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

donde

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

y el índice denota la derivada parcial con respecto a la variable correspondiente (es decir, x o t).

Los valores propios del sistema son las características del sistema ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$. Estos dan la velocidad de propagación del medio, incluida la de cualquier discontinuidad, que en este caso es la velocidad del sonido. Los vectores propios correspondientes son

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Al descomponer el estado izquierdo ${\displaystyle u_{L}}$ en términos de los vectores propios, obtenemos para algunos ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Ahora podemos resolver ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

De forma análoga

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

para

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Utilizando esto, en el dominio comprendido entre las dos características ${\displaystyle t=|x|/a}$, obtenemos la solución constante final:

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

y la solución (constante por tramos) en todo el dominio ${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

Aunque se trata de un ejemplo sencillo, muestra las propiedades básicas. En particular, las características descomponen la solución en tres dominios. La velocidad de propagación de estas dos ecuaciones es equivalente a la velocidad de propagación del sonido.

La característica más rápida define la condición de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), que establece la restricción para el paso de tiempo máximo para el que un método numérico explícito es estable. Por lo general, cuantas más ecuaciones de conservación se utilicen, más características intervienen.

• Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8. 
• LeVeque, Randall J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6. 

• Fluidodinámica computacional
• Magnetohidrodinámica computacional
• Solucionador de Riemann