Leyes de conservación (física)

Las leyes de conservación son las leyes físicas que postulan que durante la evolución temporal de un sistema aislado, ciertas magnitudes tienen un valor constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado, se le pueden aplicar diversas leyes de conservación.

Las leyes de conservación son fundamentales para nuestra comprensión del mundo físico, ya que describen qué procesos pueden o no pueden tener lugar en la naturaleza. Por ejemplo, la ley de conservación de la energía establece que la cantidad total de energía en un sistema aislado no varía, aunque pueda cambiar de forma. En general, la cantidad total de la propiedad regida por esa ley permanece inalterada durante los procesos físicos. En lo que respecta a la física clásica, las leyes de conservación incluyen la conservación de la energía, la masa (o materia), el momento lineal, el momento angular y la carga eléctrica. En lo que respecta a la física de partículas, las partículas no pueden crearse ni destruirse, salvo en pares, en los que una es ordinaria y la otra es una antipartícula. En lo que respecta a las simetrías y los principios de invariancia, se han descrito tres leyes de conservación especiales, asociadas a la inversión o reversión del espacio, el tiempo y la carga.

Las leyes de conservación se consideran leyes fundamentales de la naturaleza, con una amplia aplicación en la física, así como en otros campos como la química, la biología, la geología y la ingeniería.

La mayoría de las leyes de conservación son exactas, o absolutas, en el sentido de que se aplican a todos los procesos posibles. Algunas leyes de conservación son parciales, en el sentido de que se cumplen para algunos procesos pero no para otros.

Un resultado particularmente importante relativo a las leyes de conservación «locales» es el teorema de Noether, que establece que existe una correspondencia biunívoca entre cada una de ellas y una simetría «diferenciable» del Universo. Por ejemplo, la conservación local de la energía se deduce de la uniformidad del tiempo y la conservación del momento angular local surge de la isotropía del espacio,^[2][5][4] es decir, porque no existe una dirección preferida en el espacio. Cabe destacar que no existe ninguna ley de conservación asociada a la inversión temporal, aunque se conocen leyes de conservación más complejas que combinan la inversión temporal con otras simetrías.

Una lista parcial de ecuaciones de conservación físicas derivadas de la simetría que se consideran «leyes exactas» o, más precisamente, «de las que nunca se ha demostrado que se incumplan»:

Otra simetría exacta es la simetría CPT, que consiste en la inversión simultánea de las coordenadas espaciales y temporales, junto con el intercambio de todas las partículas por sus antipartículas; sin embargo, al tratarse de una simetría discreta, el teorema de Noether no se aplica a ella. Por consiguiente, la cantidad conservada, la paridad CPT, no suele poder calcularse ni determinarse de forma significativa.

También existen leyes de conservación «aproximadas». Estas son aproximadamente válidas en situaciones concretas, como a bajas velocidades, en intervalos de tiempo cortos o en determinadas interacciones.

• Conservación de la energía mecánica (macroscópica) (aproximadamente válida para procesos en los que las fuerzas disipativas, como la fricción, son prácticamente inexistentes)
• Conservación de la masa (en reposo) (aproximadamente válida para velocidades no relativistas)
• Conservación del número bariónico (véase anomalía quiral y esfalerón)
• Conservación del número leptónico (en el Modelo Estándar)
• Conservación del sabor (violada por la interacción débil)
• Conservación de la extrañeza (violada por la interacción débil)
• Conservación de la paridad espacial (violada por la interacción débil)
• Conservación de la paridad de carga (violada por la interacción débil)
• Conservación de la paridad temporal (violada por la interacción débil)
• Conservación de la paridad CP (violada por la interacción débil)
• Conservación de la simetría CPT (en el Modelo Estándar).

La cantidad total de una magnitud conservada en el universo podría permanecer inalterada si una cantidad igual apareciera en un punto «A» y desapareciera simultáneamente de otro punto distinto «B». Por ejemplo, una cantidad de energía podría aparecer en la Tierra sin alterar la cantidad total en el universo si la misma cantidad de energía desapareciera de alguna otra región del universo. Esta forma débil de conservación «global» no es realmente una ley de conservación porque no es invariante de Lorentz, por lo que fenómenos como el anterior no se dan en la naturaleza.^[6][7] Debido a la relatividad especial, si la aparición de la energía en «A» y la desaparición de la energía en «B» son simultáneas en un sistema de referencia inercial, no serán simultáneas en otros sistemas de referencia inerciales que se muevan con respecto al primero. En un sistema en movimiento, uno ocurrirá antes que el otro; la energía en «A» aparecerá «antes» o «después» de que desaparezca la energía en «B». En ambos casos, durante ese intervalo la energía no se conservará.

Una forma más estricta de la ley de conservación exige que, para que cambie la cantidad de una magnitud conservada en un punto, debe haber un flujo de dicha magnitud hacia o desde el punto. Por ejemplo, nunca se observa que la cantidad de carga eléctrica en un punto cambie sin que haya una corriente eléctrica entrando o saliendo del punto que transporte la diferencia de carga. Dado que solo implica cambios continuos «locales», este tipo más estricto de ley de conservación es invariante de Lorentz; una cantidad conservada en un sistema de referencia se conserva en todos los sistemas de referencia en movimiento.^[6][7] Esto se denomina ley de «conservación local».^[6][7] La conservación local implica también conservación global; es decir, que la cantidad total de la magnitud conservada en el Universo permanece constante. Todas las leyes de conservación enumeradas anteriormente son leyes de conservación local. Una ley de conservación local se expresa matemáticamente mediante una ecuación de continuidad, que establece que el cambio en la cantidad en un volumen es igual al «flujo» neto total de la cantidad a través de la superficie del volumen. En las siguientes secciones se analizan las ecuaciones de continuidad en general.

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En mecánica de medios continuos, la forma más general de una ley de conservación exacta viene dada por una ecuación de continuidad. Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica q es$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$donde ∇⋅ es el operador de divergencia, ρ es la densidad de q (cantidad por unidad de volumen), j es el flujo de q (cantidad que atraviesa una unidad de área en una unidad de tiempo), y t es el tiempo.

Si suponemos que el movimiento u de la carga es una función continua de la posición y el tiempo, entonces$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}}$$ En una dimensión espacial, esto puede expresarse en forma de una ecuación hiperbólica cuasilineal homogénea de primer orden :^[8]: 43$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y se denomina densidad de una cantidad conservada, y A(y) se denomina jacobiano actual, y se ha empleado la notación con subíndice para las derivadas parciales. El caso no homogéneo más general:$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$$no es una ecuación de conservación, sino el tipo general de ecuación de equilibrio que describe un sistema disipativo. La variable dependiente y se denomina cantidad no conservada, y el término no homogéneo s(y,x,t) es la fuente, o disipación. Por ejemplo, ecuaciones de equilibrio de este tipo son las ecuaciones de Navier-Stokes de momento y energía, o el equilibrio de entropía para un sistema aislado general.

En el espacio unidimensional, una ecuación de conservación es una ecuación cuasilineal de primer orden ecuación hiperbólica que puede expresarse en forma de advección:$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$donde la variable dependiente y(x,t) se denomina densidad de la cantidad conservada (escalar), y a(y) se coeficiente de corriente, que suele corresponder a la derivada parcial en la cantidad conservada de una densidad de corriente j(y): ^[8]: 43$${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

En este caso, dado que se aplica la regla de la cadena:$${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$$la ecuación de conservación puede expresarse en forma de densidad de corriente:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

En un espacio con más de una dimensión la definición anterior puede extenderse a una ecuación que puede expresarse de la forma:$${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

donde la «cantidad conservada» es y(r,t), ⋅ denota el producto escalar, ∇ es el operador nabla, que aquí indica un gradiente, y a(y) es un vector de coeficientes de corriente, que corresponde de forma análoga a la divergencia de una densidad de corriente vectorial asociada a la cantidad conservada j(y):$${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

Este es el caso de la ecuación de continuidad:$${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

Aquí la cantidad conservada es la masa, con densidad ρ(r,t) y densidad de corriente ρu, idéntica a la densidad de momento, mientras que u (r, t) es la velocidad de flujo.

En el caso general una ecuación de conservación también puede ser un sistema de este tipo de ecuaciones (una ecuación vectorial) con la forma:^[8]: 43$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$donde y se denomina la cantidad conservada (vector), ∇y es su gradiente, 0 es el vector cero, y A (y) se denomina jacobiana de la densidad de corriente. De hecho, al igual que en el caso escalar anterior, también en el caso vectorial A(y) suele corresponder a la jacobiana de una matriz de densidad de corriente J (y):$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$y la ecuación de conservación puede expresarse de la forma:$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

Por ejemplo, este es el caso de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos). En el caso simple incompresible son:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\,,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$$

donde:

• u es el vector velocidad de flujo, con componentes en un espacio de N dimensiones u₁, u₂, ..., u_N,
• s es la presión específica (presión por unidad de densidad) que da lugar al término fuente,

Se puede demostrar que la cantidad (vectorial) conservada y la matriz de densidad actual para estas ecuaciones son, respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} &={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};&\mathbf {J} &={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\end{aligned}}}$$

donde ${\displaystyle \otimes }$ denota el producto exterior.

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Las ecuaciones de conservación suelen poder expresarse también en forma integral: la ventaja de esta última es, fundamentalmente, que exige menos suavidad de la solución, lo que allana el camino hacia la forma débil, ampliando la clase de soluciones admisibles para incluir soluciones discontinuas. ^{[8]: 62–63} Al integrar en cualquier dominio espacio-temporal la forma de densidad de corriente en el espacio unidimensional:$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$y utilizando el teorema de Green, la forma integral es:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

De manera similar, para el espacio escalar multidimensional, la forma integral es:$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}\mathbf {r} +j(y)\,dt\right]=0}$$donde la integración lineal se realiza a lo largo del contorno del dominio, en sentido antihorario. ^{[8]: 62–63}

Además, definiendo una función de prueba φ(r,t) continuamente diferenciable tanto en el tiempo como en el espacio con soporte compacto, se puede obtener la forma débil pivotando sobre la condición inicial. En el espacio unidimensional es: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\left[\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\right]dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

En la forma débil, todas las derivadas parciales de la densidad y la densidad de corriente se han transferido a la función de prueba, que, según la hipótesis anterior, es lo suficientemente suave como para admitir estas derivadas.^{[8]: 62–63}

Las leyes de conservación más importantes en física clásica son:

• Conservación del momento lineal
• Conservación del momento angular
• Conservación de la carga eléctrica
• Conservación de la masa
• Conservación de la energía

En mecánica clásica la conservación de una magnitud física requiere en virtud del teorema de Noether que exista una simetría del lagrangiano, o equivalentemente que el corchete de Poisson de dicha magnitud se anule (siempre y cuando el hamiltoniano no dependa del tiempo).

En mecánica cuántica y física nuclear a las anteriores se les añaden estas otras:

• Conservación del número leptónico
• Conservación de la carga de color
• Conservación de la probabilidad
• Simetría CPT

En sistemas conservativos puede probarse que una magnitud  se conserva si y sólo sí conmuta con el hamiltoniano H:

${\displaystyle {\hat {A}}\ {\mbox{conservado}}\Rightarrow [{\hat {A}},{\hat {H}}]=0}$

Además de las anteriores tanto en mecánica clásica (MC) como en mecánica cuántica (MQ) se usan en ciertos contextos leyes de conservación aproximadas, es decir, que no son universales para todos los procesos aunque sí una buena parte de los procesos físicos conocidos:

• Conservación de sabor, violada en algunas interacciones débiles (MQ)
• Conservación del número bariónico (MQ)
• Conservación del isospín (MQ)
• Conservación de paridad (MC y MQ)
• Simetría CP (MQ)

En las teorías físicas que admiten un formalismo lagrangiano puede probarse que las leyes de conservación están ligadas a simetrías del sistema físico. Más concretamente el teorema de Noether para las teorías clásicas establece que si existe una simetría abstracta del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico existe una magnitud que permanece constante a lo largo de la evolución del sistema, es decir, existe una ley de conservación asociada a esa simetría.

Más aún la magnitud observada funcionalmente puede construirse a partir de los momentos conjugados del lagrangiano y del elemento del álgebra de Lie del grupo uniparamétrico de la simetría.

Conceptos fundamentales de la Física
Magnitudes físicas · Energía · Energía cinética · Momentum · Momentum angular · Masa · Carga eléctrica · Entropía
Tipos de entidades físicas: Materia · partícula · campo · onda · espacio-tiempo · observador · Espacio · Tiempo · Posición
Construcciones teóricas fundamentales: Lagrangiano · Acción · Ecuaciones de Euler-Lagrange · Ecuación de movimiento · Estado físico · Ley de conservación

• Invariante (física)
• Impulso
  • Ecuación del momento de Cauchy
• Energía
  • Conservación de la energía y la Primera ley de la termodinámica
• Sistema conservativo
• Magnitud conservada
• Principio de mutabilidad
• Tensor de energía-impulso
• Invariante de Riemann
• Filosofía de la física
• Principio totalitario
• Ecuación de convección-difusión
• Uniformidad de la naturaleza

Ejemplos y aplicaciones

• Advección
• Conservación de la masa, o ecuación de continuidad
• Conservación de la carga
• Ecuaciones de Euler (fluidos)
• Ecuación de Burgers no viscosa
• Onda cinemática
• Conservación de la energía
• Flujo de tráfico