Problema de la araña y la mosca

El problema de la araña y la mosca es el nombre dado a un reto de matemática recreativa (con una solución poco intuitiva), que consiste en determinar la trayectoria más corta entre dos puntos dados de la superficie de un paralelepípedo recorriendo sus caras.

En la versión típica del rompecabezas, una habitación paralelepipédica vacía de 30 pies de largo, 12 pies de ancho y 12 pies de alto contiene una araña y una mosca. La araña está a 1 pie por debajo del techo y centrada horizontalmente en un punto de una de las paredes de 12′×12′. La mosca está a 1 pie por encima del suelo y centrada horizontalmente en la pared opuesta. El problema es encontrar la distancia mínima que la araña debe recorrer sobre las paredes, el techo y/o el suelo para alcanzar a la mosca, que permanece inmóvil.

Soluciones

Una solución ingenua es que la araña permanezca centrada horizontalmente y suba hacia el techo, lo cruce y baje hasta la mosca, dando una distancia de 42 pies. La distancia más corta siguiendo estrictamente las reglas, 40 pies, se obtiene construyendo un desarrollo plano apropiado de la habitación y conectando la araña y la mosca con una línea recta, pero en contra de la intuición, este camino óptimo recorre cinco de las seis caras del paralelepípedo y se puede perder fácilmente.^[1]

Una solución disruptiva consiste en que la araña descienda hasta el suelo utilizando un hilo de su seda y recorra 30 pies para atravesarlo, y suba 1 pie por la pared opuesta, dando una distancia de 31 pies. De manera similar, puede subir hasta el techo, cruzarlo y luego usar un hilo de seda para bajar 11 pies, también con un resultado de 31 pies.^[2]

l	w	h	b	a	n	o	n−o
22	5	5	1	1	27	26	1
22	9	9	1	1	31	30	1
28	8	8	1	1	36	34	2
28	9	7	1	1	35	34	1
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33	6	6	1	1	39	37	2
33	7	5	1	1	38	37	1
34	8	7	1	1	41	39	2
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38	21	21	1	1	59	58	1
40	21	19	1	1	59	58	1

Para una habitación de largo l, ancho w y altura h, la araña a una distancia b por debajo del techo y la mosca a una distancia a por encima del suelo, la distancia óptima o es ${\sqrt {(w+h)^{2}+(b+l+a)^{2}}}$ , mientras que la distancia ingenua n es $l+h-|b-a|$ .

La tabla adyacente proporciona soluciones enteras para l, w ≤ 40, h ≤ w y o < n, ordenadas por o ascendente y luego n−o, con los valores originales en negrita.

Problema de la araña y la mosca

Soluciones

Historia

Referencias

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l	w	h	b	a	n	o	n−o
22	5	5	1	1	27	26	1
22	9	9	1	1	31	30	1
28	8	8	1	1	36	34	2
28	9	7	1	1	35	34	1
26	11	10	1	1	36	35	1
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l	w	h	b	a	n	o	n−o
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