Problema del huerto

Se define t₃^huerto (n) como el número máximo de líneas de 3 puntos alcanzables con una configuración de n puntos. Para un número arbitrario de puntos n, se demostró en 1974 que t₃^huerto (n) es (1/6) n².

Los primeros valores de t₃^huerto (n) se dan en la siguiente tabla (sucesión A003035 en OEIS).

Puesto que no hay dos líneas que puedan compartir dos puntos distintos, un límite superior trivial para el número de líneas de 3 puntos determinado por n puntos es:

${\displaystyle \left\lfloor {\binom {n}{2}}{\Big /}{\binom {3}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}-n}{6}}\right\rfloor .}$

Utilizando el hecho de que según el Teorema de Sylvester-Gallai para el número de líneas de 2 puntos es al menos 6n/13 ^[4], este límite superior se puede rebajar a:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {{\binom {n}{2}}-6n/13}{3}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n^{2}}{6}}-{\frac {25n}{78}}\right\rfloor .}$

(donde la notación ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ indica la función suelo)

Los límites inferiores para t₃^huerto(n) están dados por construcciones para conjuntos de puntos con muchas líneas de 3 puntos. El primer límite cuadrático inferior de ~(1/8)n² fue dado por Sylvester, quien situó n puntos en la curva cúbica y = x³. Esto se mejoró a [(1/6)n² − (1/2)n] + 1 en 1974 por ^[5], usando una construcción basada en funciones elípticas de Weierstrass. Una construcción elemental usando hipocicloides fue hallada por Füredi y Palásti (1984), logrando el mismo límite inferior.

En septiembre de 2013, Ben Green y Terence Tao publicaron un artículo en el que demuestran que para todos los conjuntos de puntos de tamaño suficiente, n > n₀, hay como máximo ([n(n - 3)/6]  + 1) = [(1/6)n² − (1/2)n + 1] líneas de 3 puntos, lo que coincide con el límite inferior establecido por Burr, Grünbaum y Sloane.^[6] Esto es ligeramente mejor que lo que resultaría directamente de su límite inferior estricto de n/2 para el número de líneas de 2 puntos: [n(n − 2)/6], demostrado en el mismo documento y resolviendo un problema planteado independientemente por Gabriel Andrew Dirac y Theodore Motzkin en 1951.