Proceso estocástico continuo

Sea (Ω, Σ, P) un espacio de probabilidad, sea T un cierto intervalo de tiempo, y sea X : T × Ω → S un proceso estocástico. Por simplicidad, se tomará como espacio de estados S la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (esta limitación es fácil de eliminar y generalizar), pero las mismas definiciones funcionan mutatis mutandis si S ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, un espacio vectorial normado o incluso un espacio métrico general.

Dado un instante de tiempo t ∈ T, se dice que la variable aleatoria X es continua con probabilidad uno en t si

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1}$

Dado un instante de tiempo t ∈ T, se dice que la variable aleatoria X es continua en media cuadrática en t si ${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\big |}X_{t}{\big |}^{2}\right]}$  < +∞ y

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbb {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0}$

Dado un instante de tiempo t ∈ T, se dice que la variable aleatoria X es continua en probabilidad en t si, para todo ε > 0,

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbb {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0}$

Equivalentemente, X es continua en probabilidad en t si

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbb {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0}$

Dado un instante de tiempo t ∈ T, se dice que la variable aleatoria X es continua en distribución en t si

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

para todos los puntos x en los que F_t es continua, donde F_t se refiere a la función de distribución de la variable aleatoria X_t.

X se dice que es muestralmente continua si X_t(ω) es continua en t para P-casi todo ω ∈ Ω. La continuidad muestral es la noción apropiada para procesos como la difusión de Itō.

X se dice que es un proceso Feller-continuo si, para cualquier t ∈ T fijado y cualquier función acotada, continua y Σ-medible g : S → R, E^x[g(X_t)] depende continuamente de x. Aquí x se refiere al estado inicial del proceso X, y E^x designa la esperanza condicionada dado que X empieza en x.

Las relaciones entre los varios tipos de continuidad en procesos estocásticos son similares a las relaciones entre los tipos de continuidad usados en la convergencia de variables aleatorias. En particular:

• La "continuidad con probabilidad uno" implica la "continuidad en probabilidad",
• La "continuidad en media cuadrática" implica la "continuidad en probabilidad",
• La "continuidad con probabilidad uno" no implica ni es implicada por la "continuidad en media cuadrática",
• La "continuidad en probabilidad" implica, pero no es implicada, por la "continuidad en distribución"

Resulta tentador confundir la continuidad con probabilidad con la continuidad muestral. Pero la continuidad con probabilidad uno en el instante t significa que P (A_t) = 0, donde el evento A_t viene dado por

${\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}$

y es perfectamente factible verificar si esto se cumple o no para cada t ∈ T. La continuidad muestral, por otra parte, requiere que P(A) = 0, donde

${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

A es una unión no-numerable de eventos, por lo que no tiene porque ser un evento en sí mismo, de tal manera que P(A) puede quedar indefinido! Peor aún, aun cuando A es un evento, P(A) puede ser estrictamente positiva aun cuando P(A_t) = 0 para cada t ∈ T. Esto sucede por ejemplo con el proceso telegráfico.

• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics (New York) 23. Berlin: Springer-Verlag. pp. 38–39;. ISBN 3-540-54062-8. 
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth edición). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.  (Ver lemma 8.1.4)