Producto interior

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ι_Xω definida por la propiedad de que

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}$

para cualquier campo vectorial X₁, ..., X_p−1.

El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α

${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle }$,

donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces

${\displaystyle \iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).}$

La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.

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Por antisimetría de formas,

${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }$

y entonces ${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}$. Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan^[2] o fórmula mágica de Cartan):

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$

Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento.^[3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.^[4]

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ satisface la identidad

${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].}$