Proyección de Van der Grinten

La construcción geométrica dada por van der Grinten se puede escribir algebraicamente:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\pm \pi {\frac {A(G-P^{2})+{\sqrt {A^{2}(G-P^{2})^{2}-(P^{2}+A^{2})(G^{2}-P^{2})}}}{P^{2}+A^{2}}},\\y&=\pm \pi {\frac {PQ-A{\sqrt {(A^{2}+1)(P^{2}+A^{2})-Q^{2}}}}{P^{2}+A^{2}}},\end{aligned}}}$

donde x toma el signo de λ - λ 0 , y toma el signo de φ , y

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\pi }{\lambda -\lambda _{0}}}-{\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\pi }}\right|,\\G&={\frac {\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}},\\P&=G\left({\frac {2}{\sin \theta }}-1\right),\\\theta &=\arcsin \left|{\frac {2\varphi }{\pi }}\right|,\\Q&=A^{2}+G.\end{aligned}}}$

Si φ = 0, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(\lambda -\lambda _{0}),\\y&=0.\end{aligned}}}$

Del mismo modo, si λ = λ 0 o φ = ± π / 2, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,\\y&=\pm \pi \tan {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$

En todos los casos, φ es la latitud , λ es la longitud y λ 0 es el meridiano central de la proyección.

• Esta obra contiene una traducción parcial derivada de «Van der Grinten projection» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.