Puerta NOT controlada

La puerta CNOT opera, generalmente, sobre 2 cúbits (control qubit y target qubit, respectivamente), realizando la operación NOT en el segundo cúbit sólo cuando el primer cúbit está en el estado ${\displaystyle |1\rangle }$, y dejándolo inalterado en caso contrario. Considerando la base computacional de este sistema de dos cúbits: ${\displaystyle \{|0\rangle _{C}|0\rangle _{T},|0\rangle _{C}|1\rangle _{T},|1\rangle _{C}|0\rangle _{T},|1\rangle _{C}|1\rangle _{T}\}\equiv \{|00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle \}}$ (donde los subíndices C y T denotan si se trata del control qubit o del target qubit, respectivamente), se tiene que:^[2][6][3]

Acción de la puerta CNOT sobre la base computacional del sistema^[3]

Estado inicial			Estado final
Estado	Control	Target	Estado	Control	Target
${\displaystyle |00\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle _{C}}$	${\displaystyle |0\rangle _{T}}$	${\displaystyle |00\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle _{C}}$	${\displaystyle |0\rangle _{T}}$
${\displaystyle |01\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle _{C}}$	${\displaystyle |1\rangle _{T}}$	${\displaystyle |01\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle _{C}}$	${\displaystyle |1\rangle _{T}}$
${\displaystyle |10\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle _{C}}$	${\displaystyle |0\rangle _{T}}$	${\displaystyle |11\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle _{C}}$	${\displaystyle |1\rangle _{T}}$
${\displaystyle |11\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle _{C}}$	${\displaystyle |1\rangle _{T}}$	${\displaystyle |10\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle _{C}}$	${\displaystyle |0\rangle _{T}}$

En notación matricial:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$

En una notación matemáticamente más compacta, puede resumirse su acción en términos de una suma módulo 2:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}:|c\rangle |t\rangle \longmapsto |c\rangle |c\oplus t\rangle ,\qquad c,t\in \{0,1\}}$,

cumpliéndose: ${\displaystyle 0\oplus 0=0;\quad 0\oplus 1=1;\quad 1\oplus 0=1;\quad 1\oplus 1=0.}$ Esta definición de la puerta CNOT permite una generalización a sistemas cuánticos de más dimensiones. Como sabemos, lo habitual es trabajar con sistemas cuyo espacio lógico está generado por ${\displaystyle |0\rangle }$ y ${\displaystyle |1\rangle }$, y sus combinaciones lineales, conocidos como cúbits. La generalización de los cúbits a ${\displaystyle n}$ dimensiones es directa, basta con considerar un espacio generado por n estados linealmente independientes: ${\displaystyle \{|0\rangle ,...,|n-1\rangle \}}$. Hecho esto, la generalización de la puerta CNOT consistirá en pasar de una suma módulo 2 a una suma módulo ${\displaystyle n}$:^[5][2][6][3]

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}:|c\rangle |t\rangle \longmapsto |c\rangle |c\oplus t\rangle ,\qquad c,t\in \{0,1,...,n-1\}}$.

Nótese que es en el símbolo asociado a esta suma, ${\displaystyle \oplus }$, donde tiene su origen la representación circuital de la puerta CNOT. Aunque lo habitual es trabajar con bits cuánticos, esto es, con sistemas cuánticos con un espacio lógico de dos estados.^[5][2][6][3]

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