Punto singular

Un punto singular de una función es un punto donde la función es continua pero la derivada en dicho punto es discontinua^[1][2] (más exactamente tiene una discontinuidad no evitable de primera especie).

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$, función continua.
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}\neq \lim _{x\to a^{+}}{\cfrac {dy}{dx}}}$, no derivable.

Los puntos singulares son los únicos puntos en donde una función es continua, pero no puede trazarse una recta tangente a la función en dicho punto.

En un punto singular, esto no se cumple, las derivadas no laterales forman un ángulo no llano lo que le da el nombre a este tipo de punto, también se denominan puntos angulosos. Además, como consecuencia, no existe la normal en este punto. Además existen funciones tales que todos sus puntos son angulosos, o más exactamente donde no existe la derivada en ningún punto a pesar de que su grafo es una curva continua, uno de los primeros ejemplos de este tipo de funciones lo constituyó la función de Weierstrass:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

siendo los números reales a y b tales que:

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$