Radical de un álgebra de Lie

En la teoría matemática de álgebras de Lie, el radical de un álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es el mayor ideal soluble de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$^[1]

El radical, denotado como ${\displaystyle {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$, se ajusta a la sucesión exacta

${\displaystyle 0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0}$

donde ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ es un álgebra de Lie semisimple. Cuando el cuerpo base tiene característica cero y ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tiene dimensión finita, el teorema de Levi afirma que esta sucesión exacta es divisible; es decir, existe una subálgebra (necesariamente semisimple) de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ que es isomorfa al cociente semisimple ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ a través de la restricción del mapa del cociente ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\ a{\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$. Una noción similar es la de subálgebra de Borel, que es una subálgebra (no necesariamente única) maximalmente soluble.