Radio de Einstein

Para el cálculo del radio de Einstein, asumiremos que toda la masa M de la galaxia con lente L se concentra en el centro de la galaxia.

Para una masa puntual, la deflexión se puede calcular y es una de las clásicas pruebas de la relatividad general. Para ángulos pequeños α₁, la deflexión total por una masa puntual M viene dada (ver métrica de Schwarzschild) por

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

dónde

b₁ es el parámetro de impacto (la distancia de aproximación más cercana del rayo de luz al centro de masa)

G es la constante gravitacional,

cc es la velocidad de la luz.

Al observar que, para ángulos pequeños y con el ángulo expresado en radianes, el punto de aproximación más cercano b₁ en un ángulo θ₁ para la lente L en una distancia D_L está dado por b₁ = θ₁ D_L, podemos volver a expresar el ángulo de flexión α₁ como

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$ ..... (Ecuación 1)

Si establecemos θ_S como el ángulo en el que se vería la fuente sin la lente (que generalmente no es observable), y θ₁ como el ángulo observado de la imagen de la fuente con respecto a la lente, entonces se puede ver desde la geometría de lente (contando distancias en el plano de la fuente) que la distancia vertical abarcada por el ángulo θ₁ a una distancia D_S es la misma que la suma de las dos distancias verticales θ_S D_S y α₁ D_LS. Esto da la ecuación de la lente

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$ ..... (Ec. 2)

Al establecer (ec. 1) igual a (ec. 2) y reorganizar, obtenemos

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

Para una fuente justo detrás de la lente, θ_S = 0, la ecuación de la lente para una masa puntual da un valor característico para θ₁ que se llama ángulo de Einstein, denotado θ_E. Cuando θ_E se expresa en radianes, y la fuente de lente está lo suficientemente lejos, el radio de Einstein, denotado R_E, viene dado por

${\displaystyle R_{E}=\theta _{E}D_{\rm {L}}}$.^[2]

Poniendo θ_S = 0 y despejando θ₁ da

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

El ángulo de Einstein para una masa puntual proporciona una escala lineal conveniente para hacer variables de lente adimensionales. En términos del ángulo de Einstein, la ecuación de la lente para una masa puntual se convierte en

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

La sustitución de las constantes da

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

En la última forma, la masa se expresa en masas solares (M_☉) y las distancias en Gigaparsec (Gpc). El radio de Einstein es más prominente para una lente típicamente a medio camino entre la fuente y el observador.

Para un cúmulo denso con masa M_c ≈ 10 × 1015 M_☉ a una distancia de 1 Gigaparsec (1 Gpc), este radio podría ser tan grande como 100 segundos de arco (llamado macrolente). Para una búsqueda de evento de microlente gravitacional (con masas de orden 1 M_☉) a distancias galácticas (digamos D ~ 3 kpc), el radio de Einstein típico sería del orden de milisegundos de arco. En consecuencia, es imposible observar imágenes separadas en eventos de microlente con las técnicas actuales.

Asimismo, para el rayo de luz inferior que llega al observador desde debajo de la lente, tenemos

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

y

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

El argumento anterior se puede ampliar para lentes que tienen una masa distribuida, en lugar de una masa puntual, utilizando una expresión diferente para el ángulo de curvatura α, las posiciones θ_I(θ_S) de las imágenes se pueden calcular. Para pequeñas deflexiones, este mapeo es uno a uno y consiste en distorsiones de las posiciones observadas que son invertibles. A esto se le llama lente débil. Para grandes deflexiones, se pueden tener varias imágenes y un mapeo no invertible: esto se llama lente fuerte. Tenga en cuenta que para que una masa distribuida dé como resultado un anillo de Einstein, debe ser axialmente simétrica.

• Chwolson, O (1924). «Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne». Astronomische Nachrichten 221 (20): 329-330. Bibcode:1924AN....221..329C. doi:10.1002/asna.19242212003. 
• Einstein, Albert (1936). «Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field». Science 84 (2188): 506-507. Bibcode:1936Sci....84..506E. JSTOR 1663250. PMID 17769014. doi:10.1126/science.84.2188.506. Archivado desde el original el 29 de abril de 2018.  (The famous Einstein Ring paper)
• Renn, Jurgen; Tilman Sauer; John Stachel (1997). «The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper». Science 275 (5297): 184-186. Bibcode:1997Sci...275..184R. PMID 8985006. doi:10.1126/science.275.5297.184.