Red Zobel

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

La base de una red Zobel es un circuito de puente balanceado como es mostrado en la derecha. La condición para el balance es la siguiente;

${\displaystyle {\frac {Z}{Z_{0}}}={\frac {Z_{0}}{Z'}}}$

Si esto es expresado en términos de una Z₀ = 1 normalizada como es convencionalmente hecho en tablas de filtros, entonces el balance es simplemente;

${\displaystyle Z={\frac {1}{Z'}}}$

En otras palabras, ${\displaystyle \scriptstyle Z'}$ es simplemente el inverso, o impedancia dual de ${\displaystyle \scriptstyle Z}$.

La impedancia de puenteo Z_B está situada a través de los puntos de balance y por lo tanto no tiene potencial. Consecuentemente, no pedirá corriente y su valor no hará diferencia a la función del circuito. Sin embargo, su valor es casi siempre escogido a ser Z₀ por razones que se clarificarán en la discusión de los circuitos puente T.

La impedancia de entrada está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{in}}}}={\frac {1}{Z_{0}+Z'}}+{\frac {1}{Z+Z_{0}}}}$

Sustituyendo la condición de balance,

${\displaystyle Z'={\frac {Z_{0}^{2}}{Z}}}$

da

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{0}}$

La impedancia de entrada puede ser arreglada para ser puramente resistiva acomodando a

${\displaystyle Z_{0}=R_{0}\!\,}$

La impedancia de entrada será entonces real e independiente de la frecuencia angular dentro y fuera de la banda, sin importar la complejidad de la sección de filtrado.

Si la Z₀ en la parte inferior derecha del puente es tomada para ser la carga de salida, entonces la función de transferencia V_in/V_o puede ser calculada para la sección. Solo la rama rhs necesita ser considerada en este cálculo. La razón de esto puede ser visto al considerar que no hay corriente a través de R_B. Nada de la corriente que fluye a través de la rama lhs va a ir hacia la carga. Es decir, se afecta la impedancia de entrada (y por lo tanto el voltaje de la terminal de entrada) pero no a la función de transferencia. La anterior ahora puede ser fácilmente encontrada como;

${\displaystyle A(\omega )={\frac {Z_{0}}{Z+Z_{0}}}}$

La impedancia de carga, es de hecho la impedancia de la siguiente etapa o la de la línea de transmisión y puede ser sensiblemente omitida del diagrama del circuito. Así mismo, si ponemos;

${\displaystyle Z_{B}=Z_{0}\,\!}$

Entonces resulta el circuito de la derecha. Esto es referido como el circuito puenteado T o puente T, dado que la impedancia Z es vista como puente a través de la sección T. El propósito de poner Z_B = Z₀ es el de hacer la sección del filtro simétrica. Esto tiene la ventaja de que entonces presentará la misma impedancia Z₀, en los puertos de entrada y de salida.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Una sección de filtro Zobel puede ser implementada para ser pasa-bajas, pasa-altas, pasa-bandas o rechaza-bandas. También es posible implementar un atenuador de respuesta en frecuencia plana. Esto último es de importancia para las secciones de filtros prácticos descritos después.

Para una sección de atenuador, Z es simplemente

${\displaystyle Z=R\,\!}$

y,

${\displaystyle Z'=R'={\frac {R_{0}^{2}}{R}}}$

La atenuación de la sección está dada por;

${\displaystyle L=20\log \left({\frac {R}{R_{0}}}+1\right)\,{\text{dB}}}$

Para una sección de filtro pasa-bajas, Z es un inductor y Z&rnbsp;' es un capacitor;

${\displaystyle Z=i\omega L\!\,}$

y

${\displaystyle Z'={\frac {1}{i\omega C'}}}$

donde

${\displaystyle C'={\frac {L}{R_{0}^{2}}}}$

La función de transferencia de la sección está dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {R_{0}}{i\omega L+R_{0}}}}$

El punto de los 3dB ocurre cuando ωL = R₀, por lo que la frecuencia de corte de los 3dB está dada por

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {R_{0}}{L}}}$

donde ω está en la banda de rechazo sobre ω_c,

${\displaystyle A(\omega )\approx {\frac {R_{0}}{i\omega L}}}$

Puede ser visto de esto que A(ω) cae en la banda de rechazo clásica 6dB/8.ª (o 20dB/década).

Para una sección de filtro pasa altas, Z es un capacitor y Z' un inductor:

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

y

${\displaystyle Z'=i\omega L'\!\,}$

donde

${\displaystyle L'=CR_{0}^{2}\!\,}$

La función de transferencia de la sección está dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {i\omega CR_{0}}{1+i\omega CR_{0}}}}$

El punto de los 3dB ocurre cuando ωC = ¹⁄_R0 por lo que la frecuencia de corte de los 3dB está dada por

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{CR_{0}}}}$

En la banda de tope

${\displaystyle A(\omega )\approx i\omega CR_{0}}$

cayendo a 6dB/8.ª.

Para una sección de filtro pasa bandas, Z es un circuito en serie resonante y Z ' es un circuito resonante desviado;

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}}$

y

${\displaystyle Y'={\frac {1}{Z'}}=i\omega C'+{\frac {1}{i\omega L'}}}$

La función de transferencia está dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {i\omega CR_{0}}{1+i\omega CR_{0}-\omega ^{2}LC}}}$

El punto de los 3dB ocurre cuando |1 − ω²LC| = ωCR₀ por lo que la frecuencia de corte de los 3dB está dada por

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{2LC}}\left(\pm R_{0}C+{\sqrt {R_{0}^{2}C^{2}+4LC}}\right)}$

de la cual la frecuencia central, ω_m, y el ancho de banda, Δω, pueden ser determinados como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \omega &={\frac {R_{0}}{L}}\\\omega _{m}&={\sqrt {{\frac {R_{0}^{2}}{4L^{2}}}+{\frac {1}{LC}}}}\end{aligned}}}$

Nótese que esto es diferente de la frecuencia resonante

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$

la relación entre ellas dada por

${\displaystyle \omega _{m}^{2}=\left({\frac {\Delta \omega }{2}}\right)^{2}+\omega _{0}^{2}}$

Para una sección de filtro rechaza bandas, Z es un circuito de resonancia desviada y Z' es un circuito resonante en serie:

${\displaystyle Y={\frac {1}{Z}}=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

y

${\displaystyle Z'=i\omega L'+{\frac {1}{i\omega C'}}}$

La función de transferencia y el ancho de banda puede ser encontrado por analogía con la sección pasa bandas.

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{0}}}}$

Y,

${\displaystyle \omega _{m}={\sqrt {\left({\frac {1}{2R_{0}C}}\right)^{2}+{\frac {1}{LC}}}}}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Las redes Zobel rara vez son utilizadas para el filtrado de frecuencias tradicional, ya que otros tipos de filtro resultan significativamente más eficientes para este propósito. Donde las redes Zobel sobresalen es en las aplicaciones de ecualización de frecuencia, particularmente en las líneas de transmisión. La dificultad con las líneas de transmisión es que la impedancia de la línea varía de una manera compleja a través de la banda y es tediosa de medir. Para la mayoría de tipos de filtro, esta variación en la impedancia causa una diferencia significativa en comparación a los valores teóricos, y es matemáticamente tedioso de compensar, incluso asumiendo que la impedancia es conocida precisamente. Pero si se utilizan las redes Zobel, basta con medir la respuesta de la línea en una carga resistiva y después diseñar un ecualizador que la compense. No existe ninguna necesidad de saber algo sobre la impedancia de la línea, ya que la red Zobel presentará exactamente la misma impedancia de la línea que será medida por los instrumentos. Su respuesta será, por lo tanto, precisamente como se prediga teóricamente. Esto es una gran ventaja cuando las líneas de alta calidad con respuestas en frecuencia planas son deseadas.

Para las líneas de audio, es invariablemente necesario el combinar componentes L/C con atenuadores resistivos en la misma sección. La razón de esto es que la estrategia de diseño usual es requerir que la sección atenúe todas las frecuencias al nivel de la frecuencia más baja en el pasa bandas. Sin los componentes resistivos, el filtro, al menos en teoría, incrementaría su atenuación sin límite. La atenuación en la banda de rechazo del filtro (es decir, el límite de la atenuación máxima) es referida como la “pérdida básica” (roll-off) de la sección. En otras palabras, la parte plana de la banda es atenuada por la pérdida básica hasta el nivel de la parte en caída de la banda que se requiere ecualizar. La siguiente discusión de las secciones prácticas, se relaciona en particular a las líneas de transmisión de audio.

El efecto más significativo que debe ser compensado es que en cierta frecuencia de corte la respuesta de la línea empieza a disminuir como un simple filtro pasa-bajas. El ancho de banda efectivo de la línea puede ser incrementado con una sección que sea un filtro pasa altas (y que iguale a tal sección de disminución), en combinación con un atenuador. En la parte plana del pasa bandas solo la parte de atenuación de la sección del filtro es significativa. Esto es puesto tal que se tenga una atenuación igual al nivel de la frecuencia más alta de interés. Todas las frecuencias hasta este punto serán ecualizadas de forma plana a un nivel atenuado. Sobre este punto, la salida del filtro volverá a disminuir.

Muy comúnmente en las redes de telecomunicaciones, un circuito está hecho de dos secciones de línea que no tienen la misma impedancia característica. Por ejemplo 150 Ω y 300 Ω. Un efecto de esto es que la disminución puede empezar en 6db/octava en la frecuencia de corte inicial ${\displaystyle \scriptstyle f_{c1}}$, pero después en ${\displaystyle \scriptstyle f_{c2}}$ se puede volver mucho más inclinada. Esta situación requiere entonces de al menos dos secciones pasa altas para compensar que cada una opera en diferentes ${\displaystyle \scriptstyle f_{c}}$.

Los topes y caídas en un pasa bandas pueden ser compensadas con secciones rechaza bandas y pasa bandas respectivamente. Un elemento atenuador es también requerido, pero usualmente más pequeño que el necesario para la disminución de roll-off. Tales anomalías en el pasa bandas pueden ser causadas por segmentos de línea mal posicionados como se describe arriba. Las caídas también pueden ser causadas por variaciones de la temperatura de tierra.

Ocasionalmente, una sección pasa bajas es incluida para compensar por la disminución excesiva de línea de transformador en el final de la frecuencia baja. Sin embargo, este efecto es usualmente muy pequeño en comparación de los efectos mencionados arriba.

Las secciones de frecuencias bajas usualmente tienen inductores de valores altos. Tales inductores tienen muchas vueltas y consecuentemente tienden a tener una resistencia significativa. Para mantener la sección de resistencia constante en la entrada, la rama dual del puente T debe contener una resistencia dual a la desviada, es decir, una resistencia en paralelo al capacitor. Aún con la compensación, la resistencia desviada tiene el efecto de insertar atenuación en frecuencias bajas. Esto a su vez tiene el efecto de levemente reducir la cantidad de carga LF que la sección de otra manera habría producido.

La compensación de la resistencia del inductor no es un problema tan grande a frecuencias altas, donde los inductores tienden a ser más pequeños. De cualquier modo, para una sección pasa altas el inductor está en serie con la resistencia de pérdida básica y la resistencia desviada puede ser restada de tal resistencia. Por otra parte, la técnica de compensación puede ser requerida por secciones resonantes, especialmente un resonador de alta Q siendo usado para levantar una muy estrecha banda. Para tales secciones el valor de los inductores también puede ser alto.

Una atenuación ajustable de filtro pasa altas puede ser usada para compensar cambios en la temperatura de la tierra. La temperatura de la tierra cambia muy lentamente en comparación con la temperatura de la superficie. Los ajustes son usualmente solo requeridos de 2 a 4 veces por año para aplicaciones de audio.

Un filtro completo típico consistirá de un número de secciones Zobel para la disminución (roll off), las caídas de frecuencia y temperatura seguidas por una sección de atenuador plano para bajar el nivel a la atenuación estándar. Esto es seguido por una amplificador de ganancia fija para traer de vuelta la señal a un nivel utilizable. Típicamente 0dBu. La ganancia del amplificador es usualmente no mayor a 45dB máximo. Si se usa más que la anterior, la amplificación del ruido tenderá a cancelar los beneficios de calidad de un ancho de banda mejorado. Este límite en la amplificación esencialmente disminuye cuanto del ancho de banda será incrementado por tales técnicas. También debería ser notado que ninguna parte de la banda de la señal de entrada será amplificada por completo a 45dB. Los 45dB están formados por la pérdida de línea en la parte plana de su espectro más la pérdida básica de cada sección. En general, cada sección tendrá una pérdida mínima en una banda de frecuencia diferente, por lo tanto la amplificación en tal banda será limitada a la pérdida básica de solo esa sección del filtro, asumiendo en los anteriores sobre cruce insignificante. Una elección típica para R₀ es 600 Ω. Un transformador de buena calidad (usualmente esencial, pero no mostrado en el diagrama), conocido como bobina de repetición, se encuentra en el inicio de la cadena donde la línea termina.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Además del puente T, hay otras formas de secciones posibles que pueden ser usadas.

Como se mencionó arriba, ${\displaystyle \scriptstyle Z_{B}}$ puede ser puesta a cualquier impedancia deseada sin afectar la impedancia de entrada. En particular, poniéndola como un circuito abierto o un corto circuito resulta en una sección simplificada del circuito llamada L. Estas son mostradas arriba para el caso de una sección pasa altas con pérdida básica.

El puerto de entrada aún presenta una impedancia de ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$ (proveyendo que la salida es terminada en ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$) pero el puerto de salida no presenta una impedancia constante. Los circuitos abiertos y corto circuitos son capaces de ser revertidos para que ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$ sea representada en la salida y la impedancia vairable sea presentada en la entrada.

Para mantener el beneficio de las redes Zobel (impedancia constante), el puerto de impedancia variable no debe estar cerca de la impedancia de línea, ni debe estar cerca del puerto de impedancia variable de otra sección. Estar cerca del amplificador es aceptable, dado que la impedancia de entrada para el amplificador normalmente se pone en ${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$ dentro del rango de tolerancias aceptables. En otras palabras, la impedancia variable no debe estar cerca de otras impedancias variables.

Las redes Zobel aquí descritas pueden ser usadas para ecualizar líneas de piso compuestas de par trenzado o cables star quad. La naturaleza del circuito balanceado de tales líneas ofrece un buen CMRR. Para mantener el CMRR, los circuitos conectados a la línea deben mantener el balance. Por tal razón, versiones balanceadas de las redes Zobel son a veces requeridas. Esto es logrado al obtener la impedancia de los componentes en serie y después poner componentes idénticos en la rama de retroalimentación del circuito.

Una sección C es una versión balanceada de una sección L. El balance es logrado en la misma manera que una sección de puente T balanceado, es decir, se pone la mitad de la impedancia en serie en el conductor común. Las secciones C y L pueden venir en variaciones de circuito abierto o corto circuito. Las mismas restricciones aplican para secciones C en cuestión de la impedancia de las terminaciones en las secciones L.

Es posible transformar una sección de puente T en una Lattice o sección X.^[2] La sección X es un tipo de circuito puente, pero es usualmente representado como un lattice y por lo tanto su nombre. Su topología lo hace intrínsecamente balanceado pero nunca es usado para implementar los filtros de resistencia constante descritos aquí debido al incrementado número de componentes. Lo anterior surge debido al proceso de transformación y no el de balance. Sin embargo, hay una aplicación en común para esta topología, el ecualizador de fase lattice, que también es de resistencia constante e inventado por Zobel. El circuito difiere de los descritos aquí en que el circuito puenteado, en que generalmente no se encuentra balanceado.

Con respecto a a los filtros de resistencia constante, el término de sección a la mitad tiene un significado un tanto distinto en otros tipos de filtros de imágenes. Generalmente, una sección a la mitad es formada al cortar por el punto medio de la impedancia en serie y de la admitancia desviada de una sección completa de una red escalonada. Es por lo tanto es literalmente una sección a la mitad. Sin embargo, aquí hay una definición un tanto distinta. Una sección a la mitad es la impedancia en serie o admitancia desviada tal que cuando se conecta entre las impedancias de carga o de fuente de R₀, resultará en la misma función de transferencia que la de un circuito de resistencia constante arbitraria. El propósito de usar secciones a la mitad es que la misma funcionalidad es lograda con un conteo drásticamente reducido de componentes.

Si un circuito de resistencia constante tiene una entrada V_in, entonces un generador con impedancia R₀ debe tener un voltaje de circuito abierto de E=2V_in para que pueda producir V_in en la entrada del circuito de resistencia constante. Si el circuito de resistencia constante se reemplaza por una impedancia de 2Z, como en el diagrama de arriba, se puede ver por simple simetría que el voltaje V_in aparecerá a la mitad de la impedancia 2Z. La salida de tal circuito puede ahora ser calculada como,

${\displaystyle {\frac {V_{O}}{V_{in}}}={\frac {R_{0}}{Z+R_{0}}}}$

que es precisamente lo mismo que la sección de puente T con el elemento en serie Z. La sección a a la mitad en serie es por lo tanto una impedancia en serie de 2Z. Por tal razonamiento, la sección a la mitad desviada es de impedancia desviada ¹⁄₂Z' (o el doble de la admitancia). Debe ser enfatizado que tales secciones a la mitad distan de ser de. tipo resistencia constante. Tienen la misma función de transferencia que una red de resistencia constante, pero solo cuando están correctamente terminadas. Un ecualizador no dará buenos resultados si una sección a la mitad está posicionada viendo hacía la línea, debido a que la línea tendrá una impedancia variable y posiblemente desconocida. Del mismo modo, dos secciones a la mitad no pueden ser conectadas directamente una de la otra, ya que ambas tendrán impedancias variables. Sin embargo, si un atenuador suficientemente grande se pone entre dos impedancias variables, esto tendrá el efecto de enmascaramiento. Un atenuador de alto valor tendrá una impedancia de entrada ${\displaystyle \scriptstyle \approx R_{0}}$ sin importar la impedancia terminante en el otro lado. En el ejemplo de la cadena práctica mostrado arriba, se requiere un atenuador de 22dB. No es necesario ponerlo al final de la cadena, puede ser puesto donde sea y usado para enmascarar 2 impedancias mal colocadas, así mismo, puede ser dividida en una o más partes para enmascarar más de una mala colocación.