Relación de Einstein (teoría cinética)

Una partícula con una carga eléctrica determinada q, tiene una movilidad eléctrica μ_q relacionada con su movilidad general μ y dada por la ecuación μ = μ_q/q. El parámetro μ_q está determinado por la relación entre la velocidad de deriva final de la partícula en un campo magnético determinado. Así pues, la ecuación de movilidad eléctrica es:^[7]

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}k_{b}T}{q}}}$

En el límite de bajo número de Reynolds, la movilidad μ es el inverso de un coeficiente de arrastre ζ. Este aparece dado por una constante de amortiguación γ =ζ/m, que es frecuentemente usada para el tiempo de relajación dinámica (Tiempo mínimo necesario para que el momento de inercia sea insignificante, si se le compara con un momento cualquiera) del objeto en difusión. Entonces, para partículas esféricas con un radio r, la Ley de Stokes es:

${\displaystyle \zeta =6\pi \eta r}$

Donde η es la viscosidad del medio. De esta manera, la relación de Einstein-Smoluchowski resulta en la relación de Stokes-Einstein dada por la ecuación:^[6]

${\displaystyle D={\frac {k_{b}T}{6\pi \eta r}}}$

Si el caso es de difusión rotacional, la fricción del medio resulta: ζ=8πηr³ y por extensión la constante de difusión está dada por la siguiente variación:

${\displaystyle D_{r}={\frac {k_{b}T}{8\pi \eta r^{3}}}}$

Para el caso de un semiconductor con densidad de estados arbitraria, la relación de Einstein resulta:^[8][9]

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}p}{q(dp/d\eta )}}}$

Donde η es el potencial químico de la partícula y p, la concentración de partículas.

• Relación de Einstein-Stokes